1. **Problema:** Calcular los cuadrados y cubos de los números complejos dados. 2. **Fórmulas:** - Cuadrado: $$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$ - Cubo: $$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$$ 3. **Reglas importantes:** - $i^2 = -1$ - Para potencias de $i$, usar la propiedad cíclica: $i^3 = -i$, $i^4 = 1$, etc. 4. **Cálculos cuadrados:** a) $(1 - i)^2 = 1^2 + 2(1)(-i) + (-i)^2 = 1 - 2i + (-1) = 0 - 2i = -2i$ b) $\left(-\frac{1}{2} + i\right)^2 = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 2\left(-\frac{1}{2}\right)(i) + i^2 = \frac{1}{4} - i - 1 = -\frac{3}{4} - i$ c) $(-2i + 1)^2 = 1^2 + 2(1)(-2i) + (-2i)^2 = 1 - 4i + 4i^2 = 1 - 4i - 4 = -3 - 4i$ d) $(2i + \frac{1}{2})^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 2\left(\frac{1}{2}\right)(2i) + (2i)^2 = \frac{1}{4} + 2i + 4i^2 = \frac{1}{4} + 2i - 4 = -\frac{15}{4} + 2i$ e) $(-i - 2)^2 = (-2)^2 + 2(-2)(-i) + (-i)^2 = 4 + 4i - 1 = 3 + 4i$ f) $\left(-\frac{1}{2} + 5i\right)^2 = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 2\left(-\frac{1}{2}\right)(5i) + (5i)^2 = \frac{1}{4} - 5i - 25 = -\frac{99}{4} - 5i$ g) $(3i + 4)^2 = 4^2 + 2(4)(3i) + (3i)^2 = 16 + 24i + 9i^2 = 16 + 24i - 9 = 7 + 24i$ h) $(1 + 2i)^2 = 1^2 + 2(1)(2i) + (2i)^2 = 1 + 4i + 4i^2 = 1 + 4i - 4 = -3 + 4i$ 5. **Cálculos cubos:** a) $(1 - i)^3 = 1^3 + 3(1)^2(-i) + 3(1)(-i)^2 + (-i)^3 = 1 - 3i + 3(-1) + (-i)^3$ Para $(-i)^3 = (-1)^3 i^3 = -1 \cdot (-i) = i$ Entonces: $1 - 3i - 3 + i = -2 - 2i$ b) $\left(-\frac{1}{2} + i\right)^3 = \left(-\frac{1}{2}\right)^3 + 3\left(-\frac{1}{2}\right)^2 i + 3\left(-\frac{1}{2}\right) i^2 + i^3$ Calculamos cada término: - $\left(-\frac{1}{2}\right)^3 = -\frac{1}{8}$ - $3\left(-\frac{1}{2}\right)^2 i = 3 \cdot \frac{1}{4} i = \frac{3}{4} i$ - $3\left(-\frac{1}{2}\right) i^2 = 3 \cdot -\frac{1}{2} \cdot (-1) = \frac{3}{2}$ - $i^3 = -i$ Sumamos: $-\frac{1}{8} + \frac{3}{4} i + \frac{3}{2} - i = \left(-\frac{1}{8} + \frac{3}{2}\right) + \left(\frac{3}{4} i - i\right) = \frac{11}{8} - \frac{1}{4} i$ c) $(-2i + 1)^3 = 1^3 + 3(1)^2(-2i) + 3(1)(-2i)^2 + (-2i)^3$ Calculamos: - $1$ - $3 \cdot 1 \cdot (-2i) = -6i$ - $3 \cdot 1 \cdot 4 i^2 = 3 \cdot 4 \cdot (-1) = -12$ - $(-2)^3 i^3 = -8 \cdot (-i) = 8i$ Sumamos: $1 - 6i - 12 + 8i = -11 + 2i$ d) $(2i + \frac{1}{2})^3 = \left(\frac{1}{2}\right)^3 + 3\left(\frac{1}{2}\right)^2 (2i) + 3\left(\frac{1}{2}\right)(2i)^2 + (2i)^3$ Calculamos: - $\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$ - $3 \cdot \frac{1}{4} \cdot 2i = \frac{3}{2} i$ - $3 \cdot \frac{1}{2} \cdot 4 i^2 = 6 \cdot (-1) = -6$ - $(2)^3 i^3 = 8 \cdot (-i) = -8i$ Sumamos: $\frac{1}{8} + \frac{3}{2} i - 6 - 8i = -\frac{47}{8} - \frac{13}{2} i$ e) $(-i - 2)^3 = (-2)^3 + 3(-2)^2(-i) + 3(-2)(-i)^2 + (-i)^3$ Calculamos: - $-8$ - $3 \cdot 4 \cdot (-i) = -12i$ - $3 \cdot (-2) \cdot (-1) = 6$ - $(-i)^3 = i$ Sumamos: $-8 - 12i + 6 + i = -2 - 11i$ f) $\left(-\frac{1}{2} + 5i\right)^3 = \left(-\frac{1}{2}\right)^3 + 3\left(-\frac{1}{2}\right)^2 (5i) + 3\left(-\frac{1}{2}\right)(5i)^2 + (5i)^3$ Calculamos: - $-\frac{1}{8}$ - $3 \cdot \frac{1}{4} \cdot 5i = \frac{15}{4} i$ - $3 \cdot -\frac{1}{2} \cdot 25 i^2 = -\frac{75}{2} \cdot (-1) = \frac{75}{2}$ - $125 i^3 = 125 (-i) = -125 i$ Sumamos: $-\frac{1}{8} + \frac{15}{4} i + \frac{75}{2} - 125 i = \left(-\frac{1}{8} + \frac{75}{2}\right) + \left(\frac{15}{4} i - 125 i\right) = \frac{299}{8} - \frac{485}{4} i$ g) $(3i + 4)^3 = 4^3 + 3(4)^2 (3i) + 3(4)(3i)^2 + (3i)^3$ Calculamos: - $64$ - $3 \cdot 16 \cdot 3i = 144 i$ - $3 \cdot 4 \cdot 9 i^2 = 108 (-1) = -108$ - $27 i^3 = 27 (-i) = -27 i$ Sumamos: $64 + 144 i - 108 - 27 i = -44 + 117 i$ h) $(1 + 2i)^3 = 1^3 + 3(1)^2 (2i) + 3(1)(2i)^2 + (2i)^3$ Calculamos: - $1$ - $6i$ - $3 \cdot 4 \cdot (-1) = -12$ - $8 i^3 = 8 (-i) = -8 i$ Sumamos: $1 + 6i - 12 - 8i = -11 - 2i$ **Respuesta final:** Cuadrados: - a) $-2i$ - b) $-\frac{3}{4} - i$ - c) $-3 - 4i$ - d) $-\frac{15}{4} + 2i$ - e) $3 + 4i$ - f) $-\frac{99}{4} - 5i$ - g) $7 + 24i$ - h) $-3 + 4i$ Cubos: - a) $-2 - 2i$ - b) $\frac{11}{8} - \frac{1}{4} i$ - c) $-11 + 2i$ - d) $-\frac{47}{8} - \frac{13}{2} i$ - e) $-2 - 11i$ - f) $\frac{299}{8} - \frac{485}{4} i$ - g) $-44 + 117 i$ - h) $-11 - 2i$