1. **Problema:** Resolver la función cuadrática $2x^2 + x + 1 = 0$. 2. **Fórmula para raíces:** Usamos la fórmula cuadrática $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ donde $a=2$, $b=1$, $c=1$. 3. **Calcular discriminante:** $$\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \times 2 \times 1 = 1 - 8 = -7$$ 4. **Interpretación del discriminante:** Como $\Delta < 0$, no hay raíces reales, sino raíces complejas. 5. **Calcular raíces complejas:** $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{-7}}{2 \times 2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{7}}{4}$$ 6. **Calcular vértice:** La fórmula del vértice es $$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \times 2} = -\frac{1}{4}$$ Sustituimos en la función para $y_v$: $$y_v = 2\left(-\frac{1}{4}\right)^2 + \left(-\frac{1}{4}\right) + 1 = 2 \times \frac{1}{16} - \frac{1}{4} + 1 = \frac{2}{16} - \frac{1}{4} + 1 = \frac{1}{8} - \frac{2}{8} + \frac{8}{8} = \frac{7}{8}$$ 7. **Rango:** Como $a=2 > 0$, la parábola abre hacia arriba y el rango es $$[y_v, \infty) = \left[\frac{7}{8}, \infty\right)$$ 8. **Ordenada al origen:** Evaluamos $f(0)$: $$f(0) = 2 \times 0^2 + 0 + 1 = 1$$ 9. **Respuesta final:** - Raíces: $x = \frac{-1 \pm i\sqrt{7}}{4}$ (complejas) - Vértice: $\left(-\frac{1}{4}, \frac{7}{8}\right)$ - Rango: $\left[\frac{7}{8}, \infty\right)$ - Ordenada al origen: $1$