1. Bài toán yêu cầu tìm đa thức bậc ba $f(x)$ sao cho khi chia $f(x)$ cho đa thức bậc hai $2x^2 - x + 1$ thì dư là $5x + 2$, và khi chia cho đa thức bậc hai $x^2 + x + 1$ thì dư là $14x + 12$. 2. Ta biết rằng với đa thức $f(x)$ bậc ba, khi chia cho đa thức bậc hai, dư sẽ là đa thức bậc nhất hoặc thấp hơn. Ở đây, dư đã cho là đa thức bậc nhất. 3. Gọi $f(x) = (2x^2 - x + 1)Q_1(x) + 5x + 2$ và $f(x) = (x^2 + x + 1)Q_2(x) + 14x + 12$, với $Q_1(x), Q_2(x)$ là đa thức bậc một (vì $f$ bậc ba). 4. Do $f(x)$ là đa thức bậc ba, ta giả sử $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$. 5. Ta có hệ phương trình từ điều kiện chia dư: $$f(x) - (5x + 2) = (2x^2 - x + 1)Q_1(x)$$ $$f(x) - (14x + 12) = (x^2 + x + 1)Q_2(x)$$ 6. Vì $Q_1(x)$ và $Q_2(x)$ là đa thức bậc một, giả sử $Q_1(x) = m_1 x + n_1$, $Q_2(x) = m_2 x + n_2$. 7. Thay $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ vào hai phương trình trên: $$ax^3 + bx^2 + cx + d - 5x - 2 = (2x^2 - x + 1)(m_1 x + n_1)$$ $$ax^3 + bx^2 + cx + d - 14x - 12 = (x^2 + x + 1)(m_2 x + n_2)$$ 8. Phân tích hai vế phải: $$(2x^2 - x + 1)(m_1 x + n_1) = 2m_1 x^3 + 2n_1 x^2 - m_1 x^2 - n_1 x + m_1 x + n_1$$ $$= 2m_1 x^3 + (2n_1 - m_1) x^2 + (m_1 - n_1) x + n_1$$ $$(x^2 + x + 1)(m_2 x + n_2) = m_2 x^3 + n_2 x^2 + m_2 x^2 + n_2 x + m_2 x + n_2$$ $$= m_2 x^3 + (n_2 + m_2) x^2 + (n_2 + m_2) x + n_2$$ 9. So sánh hệ số từng bậc của $x$ trong hai phương trình: Từ phương trình 1: $$ax^3 + bx^2 + (c - 5) x + (d - 2) = 2m_1 x^3 + (2n_1 - m_1) x^2 + (m_1 - n_1) x + n_1$$ Từ phương trình 2: $$ax^3 + bx^2 + (c - 14) x + (d - 12) = m_2 x^3 + (n_2 + m_2) x^2 + (n_2 + m_2) x + n_2$$ 10. Ta có hệ phương trình: $$a = 2m_1$$ $$b = 2n_1 - m_1$$ $$c - 5 = m_1 - n_1$$ $$d - 2 = n_1$$ $$a = m_2$$ $$b = n_2 + m_2$$ $$c - 14 = n_2 + m_2$$ $$d - 12 = n_2$$ 11. Từ $a = 2m_1$ và $a = m_2$ suy ra $m_2 = 2m_1$. 12. Từ $d - 2 = n_1$ và $d - 12 = n_2$ suy ra $n_2 = n_1 - 10$. 13. Thay $b$ và $c$: $$b = 2n_1 - m_1 = n_2 + m_2 = (n_1 - 10) + 2m_1$$ $$c - 5 = m_1 - n_1$$ $$c - 14 = n_2 + m_2 = (n_1 - 10) + 2m_1$$ 14. Từ hai biểu thức cho $b$: $$2n_1 - m_1 = n_1 - 10 + 2m_1$$ $$2n_1 - m_1 - n_1 + 10 - 2m_1 = 0$$ $$n_1 - 3m_1 + 10 = 0$$ 15. Từ hai biểu thức cho $c$: $$c - 5 = m_1 - n_1$$ $$c - 14 = n_1 - 10 + 2m_1$$ Trừ hai vế: $$(c - 5) - (c - 14) = (m_1 - n_1) - (n_1 - 10 + 2m_1)$$ $$9 = m_1 - n_1 - n_1 + 10 - 2m_1$$ $$9 = -m_1 - 2n_1 + 10$$ $$-1 = -m_1 - 2n_1$$ $$m_1 + 2n_1 = 1$$ 16. Ta có hệ: $$n_1 - 3m_1 = -10$$ $$m_1 + 2n_1 = 1$$ 17. Giải hệ: Nhân phương trình thứ hai với 3: $$3m_1 + 6n_1 = 3$$ Cộng với phương trình thứ nhất: $$(n_1 - 3m_1) + (3m_1 + 6n_1) = -10 + 3$$ $$7n_1 = -7$$ $$n_1 = -1$$ Thay vào $m_1 + 2n_1 = 1$: $$m_1 + 2(-1) = 1$$ $$m_1 - 2 = 1$$ $$m_1 = 3$$ 18. Tính các hệ số: $$a = 2m_1 = 6$$ $$n_1 = -1$$ $$b = 2n_1 - m_1 = 2(-1) - 3 = -5$$ $$d = n_1 + 2 = -1 + 2 = 1$$ $$c - 5 = m_1 - n_1 = 3 - (-1) = 4 \, \Rightarrow \, c = 9$$ 19. Vậy đa thức cần tìm là: $$f(x) = 6x^3 - 5x^2 + 9x + 1$$ 20. Tính $f(2024)$: $$f(2024) = 6 \times 2024^3 - 5 \times 2024^2 + 9 \times 2024 + 1$$