1. El problema pide transformar números decimales periódicos y decimales en fracciones y luego realizar sumas y restas. 2. Recordemos que un decimal periódico como $0,8888...$ es igual a la fracción $\frac{8}{9}$, y $1,3333...$ es $\frac{4}{3}$, etc. 3. Vamos a convertir cada decimal periódico y decimal dado en fracción: - $0,8888... = \frac{8}{9}$ - $1,3333... = \frac{4}{3}$ - $1,3333... = \frac{4}{3}$ (repetido) - $0,22222... = \frac{2}{9}$ - $3,545454... = 3 + \frac{6}{11} = \frac{39}{11}$ (porque $0,545454...=\frac{6}{11}$) - $1,12121212... = 1 + \frac{4}{33} = \frac{37}{33}$ (porque $0,121212...=\frac{4}{33}$) - $1,88888... = 1 + \frac{8}{9} = \frac{17}{9}$ 4. Ahora resolvemos cada inciso: a) $1 \frac{7}{8} + 0,8888... - 24 + 1,3333... - 4 = \frac{15}{8} + \frac{8}{9} - 24 + \frac{4}{3} - 4$ Para sumar y restar, llevamos todo a fracciones con común denominador: - $\frac{15}{8} = \frac{135}{72}$ - $\frac{8}{9} = \frac{64}{72}$ - $24 = \frac{1728}{72}$ - $\frac{4}{3} = \frac{96}{72}$ - $4 = \frac{288}{72}$ Sumamos y restamos: $$\frac{135}{72} + \frac{64}{72} - \frac{1728}{72} + \frac{96}{72} - \frac{288}{72} = \frac{135 + 64 - 1728 + 96 - 288}{72} = \frac{-1721}{72}$$ b) $0,15 + 3 \frac{5}{11} - 1,3333... = 0,15 + \frac{38}{11} - \frac{4}{3}$ Convertimos $0,15 = \frac{15}{100} = \frac{3}{20}$ Llevamos a común denominador 660: - $\frac{3}{20} = \frac{99}{660}$ - $\frac{38}{11} = \frac{2280}{660}$ - $\frac{4}{3} = \frac{880}{660}$ Sumamos y restamos: $$\frac{99}{660} + \frac{2280}{660} - \frac{880}{660} = \frac{1499}{660}$$ c) $11 \frac{2}{10} + 8,125 - 2,25 - 2,6666... - 13$ Convertimos: - $11 \frac{2}{10} = 11.2 = \frac{112}{10} = \frac{56}{5}$ - $8,125 = \frac{65}{8}$ - $2,25 = \frac{9}{4}$ - $2,6666... = 2 + \frac{2}{3} = \frac{8}{3}$ Sumamos y restamos: $$\frac{56}{5} + \frac{65}{8} - \frac{9}{4} - \frac{8}{3} - 13$$ Convertimos $13 = \frac{13}{1}$ Llevamos a común denominador 120: - $\frac{56}{5} = \frac{1344}{120}$ - $\frac{65}{8} = \frac{975}{120}$ - $\frac{9}{4} = \frac{270}{120}$ - $\frac{8}{3} = \frac{320}{120}$ - $13 = \frac{1560}{120}$ Sumamos y restamos: $$\frac{1344 + 975 - 270 - 320 - 1560}{120} = \frac{169}{120}$$ d) $0,05 + 13 \frac{5}{4} + 0,22222... - 5$ Convertimos: - $0,05 = \frac{1}{20}$ - $13 \frac{5}{4} = 13 + 1.25 = 14.25 = \frac{57}{4}$ - $0,22222... = \frac{2}{9}$ Sumamos y restamos: $$\frac{1}{20} + \frac{57}{4} + \frac{2}{9} - 5$$ Convertimos $5 = \frac{5}{1}$ Común denominador 180: - $\frac{1}{20} = \frac{9}{180}$ - $\frac{57}{4} = \frac{2565}{180}$ - $\frac{2}{9} = \frac{40}{180}$ - $5 = \frac{900}{180}$ Sumamos y restamos: $$\frac{9 + 2565 + 40 - 900}{180} = \frac{1714}{180} = \frac{857}{90}$$ e) $3,545454... + 3 - 2,5 + 2 - 0,5$ Convertimos: - $3,545454... = \frac{39}{11}$ - $2,5 = \frac{5}{2}$ - $0,5 = \frac{1}{2}$ Sumamos y restamos: $$\frac{39}{11} + 3 - \frac{5}{2} + 2 - \frac{1}{2}$$ Convertimos enteros a fracciones con denominador 22: - $3 = \frac{66}{22}$ - $2 = \frac{44}{22}$ Llevamos todo a denominador 22: - $\frac{39}{11} = \frac{78}{22}$ - $\frac{5}{2} = \frac{55}{22}$ - $\frac{1}{2} = \frac{11}{22}$ Sumamos y restamos: $$\frac{78 + 66*2 - 55 + 44*2 - 11}{22} = \frac{78 + 132 - 55 + 88 - 11}{22} = \frac{232}{22} = \frac{116}{11}$$ f) $1,12121212... + 9 - 1,88888... - 7 - 7,5$ Convertimos: - $1,12121212... = \frac{37}{33}$ - $1,88888... = \frac{17}{9}$ - $7,5 = \frac{15}{2}$ Sumamos y restamos: $$\frac{37}{33} + 9 - \frac{17}{9} - 7 - \frac{15}{2}$$ Convertimos enteros a fracciones con común denominador 198: - $9 = \frac{1782}{198}$ - $7 = \frac{1386}{198}$ Convertimos fracciones: - $\frac{37}{33} = \frac{222}{198}$ - $\frac{17}{9} = \frac{374}{198}$ - $\frac{15}{2} = \frac{1485}{198}$ Sumamos y restamos: $$\frac{222 + 1782 - 374 - 1386 - 1485}{198} = \frac{-1241}{198}$$ 5. Respuestas finales: a) $\frac{-1721}{72}$ b) $\frac{1499}{660}$ c) $\frac{169}{120}$ d) $\frac{857}{90}$ e) $\frac{116}{11}$ f) $\frac{-1241}{198}$