1. **Énoncé du problème :** Décomposer le polynôme $P(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1$ en facteurs, identifier les coefficients des termes, et donner la forme canonique. 2. **Identification des coefficients :** Le polynôme est de degré 3, donc de la forme générale $ax^3 + bx^2 + cx + d$. Ici, $a = 2$, $b = -5$, $c = 3$, $d = -1$. 3. **Décomposition en facteurs (recherche des racines) :** On cherche les racines rationnelles possibles parmi les diviseurs de $d$ sur ceux de $a$, soit $\pm 1, \pm \frac{1}{2}$. 4. **Tester $x=1$ :** $$P(1) = 2(1)^3 - 5(1)^2 + 3(1) - 1 = 2 - 5 + 3 - 1 = -1 \neq 0$$ 5. **Tester $x=-1$ :** $$P(-1) = 2(-1)^3 - 5(-1)^2 + 3(-1) - 1 = -2 - 5 - 3 - 1 = -11 \neq 0$$ 6. **Tester $x=\frac{1}{2}$ :** $$P\left(\frac{1}{2}\right) = 2\left(\frac{1}{2}\right)^3 - 5\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 3\left(\frac{1}{2}\right) - 1 = 2\times \frac{1}{8} - 5 \times \frac{1}{4} + \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{4} - \frac{5}{4} + \frac{3}{2} - 1 = -1 + 1.5 - 1 = -0.5 \neq 0$$ 7. **Tester $x=-\frac{1}{2}$ :** $$P\left(-\frac{1}{2}\right) = 2\left(-\frac{1}{2}\right)^3 - 5\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 3\left(-\frac{1}{2}\right) - 1 = 2\times \left(-\frac{1}{8}\right) - 5 \times \frac{1}{4} - \frac{3}{2} - 1 = -\frac{1}{4} - \frac{5}{4} - \frac{3}{2} - 1 = -\frac{1}{4} - \frac{5}{4} - \frac{3}{2} - 1 = -3.5 \neq 0$$ 8. **Conclusion :** Aucune racine rationnelle simple, donc on utilise la méthode de décomposition par division ou formule de Cardan, ou on laisse sous forme factorisée par identification. 9. **Forme canonique :** La forme canonique d'un polynôme cubique est : $$P(x) = a(x - \alpha)^3 + b(x - \alpha)^2 + c(x - \alpha) + d$$ mais ici, on peut aussi écrire la forme canonique par complétion du cube, ce qui est complexe sans racines simples. 10. **Résumé :** - Coefficients : $a=2$, $b=-5$, $c=3$, $d=-1$. - Pas de racines rationnelles simples. - Forme canonique nécessite calculs avancés (non demandés explicitement).