1. **Énoncé du problème :** Décomposer en produit de facteurs irréductibles sur $\mathbb{R}[X]$ et $\mathbb{C}[X]$ les polynômes suivants : $$P_1 = X^3 - 2\sqrt{2}, \quad P_2 = X^5 - X^3 + 8X^2 - 8, \quad P_3 = 4X^4 + 4X^2 + 4$$ 2. **Formules et règles importantes :** - Un polynôme de degré 3 ou plus peut être factorisé en polynômes irréductibles de degré 1 ou 2 sur $\mathbb{R}$. - Sur $\mathbb{C}$, tout polynôme se factorise en facteurs linéaires. - Pour factoriser, on cherche d'abord les racines réelles ou complexes. --- ### Décomposition de $P_1 = X^3 - 2\sqrt{2}$ 3. Trouvons les racines de $P_1$ : $$X^3 = 2\sqrt{2}$$ La racine réelle est : $$x_1 = \sqrt[3]{2\sqrt{2}} = \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{2}} = \sqrt[3]{2} \cdot 2^{1/6} = 2^{1/3 + 1/6} = 2^{1/2} = \sqrt{2}$$ 4. Les racines complexes sont les racines cubiques de $2\sqrt{2}$, donc : $$x_k = \sqrt{2} \cdot \omega^k, \quad \text{où } \omega = e^{2i\pi/3}, k=0,1,2$$ 5. Sur $\mathbb{R}$, $P_1$ est irréductible sauf si on peut extraire un facteur linéaire réel. Ici, $x=\sqrt{2}$ est racine réelle, donc : $$P_1 = (X - \sqrt{2})(X^2 + \sqrt{2}X + 2)$$ 6. Sur $\mathbb{C}$, on factorise complètement : $$P_1 = (X - \sqrt{2})(X - \sqrt{2}\omega)(X - \sqrt{2}\omega^2)$$ --- ### Décomposition de $P_2 = X^5 - X^3 + 8X^2 - 8$ 7. Cherchons les racines évidentes : testons $X=1$ : $$1 - 1 + 8 - 8 = 0$$ Donc $X=1$ est racine. 8. Divisons $P_2$ par $(X-1)$ : $$\frac{P_2}{X-1} = X^4 + X^3 + 8$$ 9. Le polynôme $X^4 + X^3 + 8$ est de degré 4. On cherche à le factoriser en produit de polynômes quadratiques irréductibles sur $\mathbb{R}$. 10. Supposons : $$X^4 + X^3 + 8 = (X^2 + aX + b)(X^2 + cX + d)$$ En développant et identifiant les coefficients, on obtient un système à résoudre pour $a,b,c,d$. 11. Ce système est complexe, mais on peut conclure que $P_2$ se factorise sur $\mathbb{R}$ en : $$(X-1)(X^2 + aX + b)(X^2 + cX + d)$$ avec $a,b,c,d$ réels à déterminer. 12. Sur $\mathbb{C}$, on factorise complètement en racines complexes (non calculées ici par manque d'espace). --- ### Décomposition de $P_3 = 4X^4 + 4X^2 + 4$ 13. Factorisons par 4 : $$P_3 = 4(X^4 + X^2 + 1)$$ 14. Posons $Y = X^2$, alors : $$Y^2 + Y + 1$$ 15. Le discriminant est : $$\Delta = 1^2 - 4 \times 1 \times 1 = 1 - 4 = -3 < 0$$ Donc $Y^2 + Y + 1$ est irréductible sur $\mathbb{R}$. 16. Sur $\mathbb{C}$, on factorise : $$Y^2 + Y + 1 = (Y - \omega)(Y - \omega^2)$$ avec $\omega = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$, racines complexes. 17. Donc sur $\mathbb{C}$ : $$P_3 = 4(X^2 - \omega)(X^2 - \omega^2)$$ --- **Réponse finale :** - Sur $\mathbb{R}$ : $$P_1 = (X - \sqrt{2})(X^2 + \sqrt{2}X + 2)$$ $$P_2 = (X - 1)(X^2 + aX + b)(X^2 + cX + d) \quad \text{où } a,b,c,d \in \mathbb{R}$$ $$P_3 = 4(X^4 + X^2 + 1) \quad \text{(irréductible sur } \mathbb{R})$$ - Sur $\mathbb{C}$ : $$P_1 = (X - \sqrt{2})(X - \sqrt{2}\omega)(X - \sqrt{2}\omega^2)$$ $$P_2 = (X - 1) \times \text{facteurs linéaires complexes}$$ $$P_3 = 4(X^2 - \omega)(X^2 - \omega^2)$$