1. **Problème 1 : Vérifier si les vecteurs sont linéairement indépendants** On considère les vecteurs $$\begin{bmatrix}\cosh(t) \\ 1 \end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix}e^t \\ 1 \end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix}e^{-t} \\ 1 \end{bmatrix}.$$ 2. Pour tester l'indépendance linéaire, on cherche des scalaires $a,b,c$ tels que $$a \begin{bmatrix}\cosh(t) \\ 1 \end{bmatrix} + b \begin{bmatrix}e^t \\ 1 \end{bmatrix} + c \begin{bmatrix}e^{-t} \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 \\ 0 \end{bmatrix}$$ avec $(a,b,c) \neq (0,0,0)$. 3. En regardant la deuxième composante, on a $$a + b + c = 0.$$ 4. En regardant la première composante, $$a \cosh(t) + b e^t + c e^{-t} = 0.$$ 5. On sait que $\cosh(t) = \frac{e^t + e^{-t}}{2}$, donc $$a \frac{e^t + e^{-t}}{2} + b e^t + c e^{-t} = 0.$$ 6. Regroupons les termes en $e^t$ et $e^{-t}$ : $$\left(\frac{a}{2} + b\right) e^t + \left(\frac{a}{2} + c\right) e^{-t} = 0.$$ 7. Comme $e^t$ et $e^{-t}$ sont linéairement indépendants, les coefficients doivent être nuls : $$\frac{a}{2} + b = 0, \quad \frac{a}{2} + c = 0.$$ 8. On a donc le système : $$\begin{cases} a + b + c = 0 \\ \frac{a}{2} + b = 0 \\ \frac{a}{2} + c = 0 \end{cases}$$ 9. De la deuxième et troisième équation, on obtient $b = -\frac{a}{2}$ et $c = -\frac{a}{2}$. 10. Substituons dans la première : $$a - \frac{a}{2} - \frac{a}{2} = 0,$$ ce qui est vrai pour tout $a$. 11. Donc, pour $a=2$, on a $b = -1$ et $c = -1$, ce qui donne la relation $$2 \begin{bmatrix}\cosh(t) \\ 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix}e^t \\ 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix}e^{-t} \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 \\ 0 \end{bmatrix}.$$ 12. Conclusion : les vecteurs sont **linéairement dépendants**. --- 13. **Problème 2 : Écrire le système différentiel en notation matricielle** Le système est $$\begin{cases} x' = 3x - y + e^t \\ y' = t x \end{cases}.$$ 14. On peut écrire $$\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ t & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} e^t \\ 0 \end{bmatrix}.$$ 15. Cette forme matricielle est pratique pour l'analyse et la résolution du système. **Réponses finales :** - Les vecteurs sont linéairement dépendants. - Le système en notation matricielle est $$\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ t & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} e^t \\ 0 \end{bmatrix}.$$