1. **Problema 11:** $v(r)=\frac{4}{3}\pi r^3$. Fórmula usada: $\frac{d}{dr}(r^n)=nr^{n-1}$. $$v'(r)=\frac{d}{dr}\left(\frac{4}{3}\pi r^3\right)$$ $$v'(r)=\frac{4}{3}\pi\cdot 3r^2$$ $$v'(r)=4\pi r^2$$ **Respuesta:** $v'(r)=4\pi r^2$. 2. **Problema 12:** $G(y)=y^{10}+7y^5-y^3+1$. Fórmula usada: $\frac{d}{dy}(y^n)=ny^{n-1}$ y la derivada de una constante es $0$. $$G'(y)=\frac{d}{dy}(y^{10})+\frac{d}{dy}(7y^5)-\frac{d}{dy}(y^3)+\frac{d}{dy}(1)$$ $$G'(y)=10y^9+35y^4-3y^2+0$$ $$G'(y)=10y^9+35y^4-3y^2$$ **Respuesta:** $G'(y)=10y^9+35y^4-3y^2$. 3. **Problema 13:** $F(x)=x^2+3x+\frac{1}{x^2}$. Reescribimos $\frac{1}{x^2}$ como $x^{-2}$. Fórmula usada: $\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}$. $$F(x)=x^2+3x+x^{-2}$$ $$F'(x)=\frac{d}{dx}(x^2)+\frac{d}{dx}(3x)+\frac{d}{dx}(x^{-2})$$ $$F'(x)=2x+3-2x^{-3}$$ $$F'(x)=2x+3-\frac{2}{x^3}$$ **Respuesta:** $F'(x)=2x+3-\frac{2}{x^3}$. 4. **Problema 14:** $f(x)=\frac{x^3}{3}+\frac{3}{x^3}$. Reescribimos $\frac{3}{x^3}$ como $3x^{-3}$. Fórmula usada: $\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}$. $$f(x)=\frac{1}{3}x^3+3x^{-3}$$ $$f'(x)=\frac{1}{3}\cdot 3x^2+3\cdot(-3)x^{-4}$$ $$f'(x)=x^2-9x^{-4}$$ $$f'(x)=x^2-\frac{9}{x^4}$$ **Respuesta:** $f'(x)=x^2-\frac{9}{x^4}$. 5. **Problema 15:** $g(x)=4x^4-\frac{1}{4}x^4$. Primero simplificamos términos semejantes. $$g(x)=\left(4-\frac{1}{4}\right)x^4$$ $$g(x)=\frac{16}{4}x^4-\frac{1}{4}x^4$$ $$g(x)=\frac{15}{4}x^4$$ Ahora derivamos. $$g'(x)=\frac{15}{4}\cdot 4x^3$$ $$g'(x)=15x^3$$ **Respuesta:** $g'(x)=15x^3$. 6. **Problema 16:** $f(x)=x^4-5+x^{-2}+41x^{-4}$. Fórmula usada: $\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}$ y la derivada de una constante es $0$. $$f'(x)=\frac{d}{dx}(x^4)-\frac{d}{dx}(5)+\frac{d}{dx}(x^{-2})+\frac{d}{dx}(41x^{-4})$$ $$f'(x)=4x^3-0-2x^{-3}-164x^{-5}$$ $$f'(x)=4x^3-2x^{-3}-164x^{-5}$$ $$f'(x)=4x^3-\frac{2}{x^3}-\frac{164}{x^5}$$ **Respuesta:** $f'(x)=4x^3-\frac{2}{x^3}-\frac{164}{x^5}$. 7. **Problema 17:** $g(x)=\frac{3}{x^2}+\frac{5}{x^4}$. Reescribimos con exponentes negativos. $$g(x)=3x^{-2}+5x^{-4}$$ Fórmula usada: $\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}$. $$g'(x)=3\cdot(-2)x^{-3}+5\cdot(-4)x^{-5}$$ $$g'(x)=-6x^{-3}-20x^{-5}$$ $$g'(x)=-\frac{6}{x^3}-\frac{20}{x^5}$$ **Respuesta:** $g'(x)=-\frac{6}{x^3}-\frac{20}{x^5}$. 8. **Problema 18:** $H(x)=\frac{5}{6}x^5$. Fórmula usada: $\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}$. $$H'(x)=\frac{5}{6}\cdot 5x^4$$ $$H'(x)=\frac{25}{6}x^4$$ **Respuesta:** $H'(x)=\frac{25}{6}x^4$. 9. **Problema 19:** $f(s)=\sqrt{3}(s^3-s^2)$. La constante $\sqrt{3}$ se conserva y derivamos dentro del paréntesis. $$f'(s)=\sqrt{3}\,\frac{d}{ds}(s^3-s^2)$$ $$f'(s)=\sqrt{3}(3s^2-2s)$$ $$f'(s)=3\sqrt{3}s^2-2\sqrt{3}s$$ **Respuesta:** $f'(s)=\sqrt{3}(3s^2-2s)$. 10. **Problema 20:** $g(x)=(2x^2+5)(4x-1)$. Fórmula usada: regla del producto, $\frac{d}{dx}[uv]=u'v+uv'$. Sea $u=2x^2+5$ y $v=4x-1$. $$u'=4x$$ $$v'=4$$ $$g'(x)=u'v+uv'$$ $$g'(x)=4x(4x-1)+(2x^2+5)(4)$$ $$g'(x)=16x^2-4x+8x^2+20$$ $$g'(x)=24x^2-4x+20$$ **Respuesta:** $g'(x)=24x^2-4x+20$. 11. **Problema 21:** $f(x)=(2x^4-1)(5x^3+6x)$. Fórmula usada: regla del producto, $\frac{d}{dx}[uv]=u'v+uv'$. Sea $u=2x^4-1$ y $v=5x^3+6x$. $$u'=8x^3$$ $$v'=15x^2+6$$ $$f'(x)=u'v+uv'$$ $$f'(x)=8x^3(5x^3+6x)+(2x^4-1)(15x^2+6)$$ $$f'(x)=40x^6+48x^4+30x^6+12x^4-15x^2-6$$ $$f'(x)=70x^6+60x^4-15x^2-6$$ **Respuesta:** $f'(x)=70x^6+60x^4-15x^2-6$. 12. **Problema 22:** $f(x)=(4x^2+3)^2$. Fórmula usada: regla de la cadena, $\frac{d}{dx}[u^2]=2u\,u'$. Sea $u=4x^2+3$. $$u'=8x$$ $$f'(x)=2(4x^2+3)(8x)$$ $$f'(x)=16x(4x^2+3)$$ $$f'(x)=64x^3+48x$$ **Respuesta:** $f'(x)=64x^3+48x$. 13. **Problema 23:** $G(y)=(7-3y^3)^2$. Fórmula usada: regla de la cadena, $\frac{d}{dy}[u^2]=2u\,u'$. Sea $u=7-3y^3$. $$u'=-9y^2$$ $$G'(y)=2(7-3y^3)(-9y^2)$$ $$G'(y)=-18y^2(7-3y^3)$$ $$G'(y)=-126y^2+54y^5$$ **Respuesta:** $G'(y)=-18y^2(7-3y^3)$.