1. Énoncé du problème : Dériver la fonction $$y = \frac{4x^2 - 7x + 5}{2x^3 + 3x - 1}$$, développer le numérateur en produit, simplifier la dérivée et calculer $y'$ en $x = -2$. 2. Formule utilisée : Pour une fonction quotient $y = \frac{u(x)}{v(x)}$, la dérivée est donnée par la règle du quotient : $$y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$$ 3. Calcul des dérivées de $u$ et $v$ : $$u = 4x^2 - 7x + 5 \Rightarrow u' = 8x - 7$$ $$v = 2x^3 + 3x - 1 \Rightarrow v' = 6x^2 + 3$$ 4. Application de la règle du quotient : $$y' = \frac{(8x - 7)(2x^3 + 3x - 1) - (4x^2 - 7x + 5)(6x^2 + 3)}{(2x^3 + 3x - 1)^2}$$ 5. Développons le numérateur : $$ (8x - 7)(2x^3 + 3x - 1) = 8x \cdot 2x^3 + 8x \cdot 3x + 8x \cdot (-1) - 7 \cdot 2x^3 - 7 \cdot 3x + (-7) \cdot (-1) $$ $$= 16x^4 + 24x^2 - 8x - 14x^3 - 21x + 7$$ $$ (4x^2 - 7x + 5)(6x^2 + 3) = 4x^2 \cdot 6x^2 + 4x^2 \cdot 3 - 7x \cdot 6x^2 - 7x \cdot 3 + 5 \cdot 6x^2 + 5 \cdot 3 $$ $$= 24x^4 + 12x^2 - 42x^3 - 21x + 30x^2 + 15$$ 6. Soustrayons les deux expressions : $$\text{numérateur} = (16x^4 + 24x^2 - 8x - 14x^3 - 21x + 7) - (24x^4 + 12x^2 - 42x^3 - 21x + 30x^2 + 15)$$ 7. Simplifions en regroupant les termes semblables : $$= 16x^4 - \cancel{24x^4} + 24x^2 - 12x^2 - 8x - (-42x^3) + (-14x^3) - 21x + 21x + 7 - 15 - 30x^2$$ $$= (16x^4 - 24x^4) + (24x^2 - 12x^2 - 30x^2) + (-8x) + (-14x^3 + 42x^3) + ( -21x + 21x) + (7 - 15)$$ $$= -8x^4 - 18x^2 - 8x + 28x^3 + 0 - 8$$ 8. Réordonnons par puissance décroissante : $$= -8x^4 + 28x^3 - 18x^2 - 8x - 8$$ 9. La dérivée est donc : $$y' = \frac{-8x^4 + 28x^3 - 18x^2 - 8x - 8}{(2x^3 + 3x - 1)^2}$$ 10. Calculons $y'$ en $x = -2$ : Calcul du numérateur : $$-8(-2)^4 + 28(-2)^3 - 18(-2)^2 - 8(-2) - 8 = -8 \times 16 + 28 \times (-8) - 18 \times 4 + 16 - 8$$ $$= -128 - 224 - 72 + 16 - 8 = -416 - 72 + 8 = -480$$ Calcul du dénominateur : $$2(-2)^3 + 3(-2) - 1 = 2 \times (-8) - 6 - 1 = -16 - 6 - 1 = -23$$ $$(-23)^2 = 529$$ 11. Résultat final : $$y'(-2) = \frac{-480}{529}$$