1. **Énoncé du problème :** Calculer la dérivée de la fonction $g(x) = x^3 + 3x - 4$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. 2. **Formule utilisée :** La dérivée d'une somme est la somme des dérivées, et la dérivée de $x^n$ est $nx^{n-1}$. 3. **Calcul de $g'(x)$ :** $$g'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) + \frac{d}{dx}(3x) - \frac{d}{dx}(4) = 3x^2 + 3 - 0 = 3x^2 + 3$$ 4. **Interprétation :** Pour tout $x$, $3x^2 \geq 0$, donc $3x^2 + 3 > 0$. Cela signifie que $g'(x) > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. 5. **Conclusion :** La fonction $g$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ car sa dérivée est strictement positive partout. 6. **Tableau de variations :** - Comme $g'(x) > 0$ pour tout $x$, $g$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. - Limites : $\lim_{x \to -\infty} g(x) = -\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty$. 7. **Calcul de $g(1)$ :** $$g(1) = 1^3 + 3 \times 1 - 4 = 1 + 3 - 4 = 0$$ 8. **Interprétation des signes :** Puisque $g$ est strictement croissante et $g(1) = 0$ : - Pour $x < 1$, $g(x) < 0$. - Pour $x > 1$, $g(x) > 0$. **Réponse finale :** $$g'(x) = 3x^2 + 3 > 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}$$ La fonction $g$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. De plus, $$g(1) = 0, \quad g(x) < 0 \text{ pour } x < 1, \quad g(x) > 0 \text{ pour } x > 1.$$