1. Énoncé du problème : Calculer la dérivée de la fonction $g$ définie sur $]0 ; +\infty[$ par $$g(x) = -x^2 - 2 + 2 \ln x.$$\n\n2. Formule utilisée : La dérivée de $\ln x$ est $\frac{1}{x}$, et la dérivée de $x^n$ est $nx^{n-1}$.\n\n3. Calcul de $g'(x)$ :\n$$g'(x) = \frac{d}{dx}(-x^2) + \frac{d}{dx}(-2) + \frac{d}{dx}(2 \ln x) = -2x + 0 + 2 \cdot \frac{1}{x} = -2x + \frac{2}{x}.$$\n\n4. Simplification :\n$$g'(x) = \frac{-2x^2 + 2}{x} = \frac{2(1 - x^2)}{x}.$$\n\n5. Domaine de définition : $x > 0$, donc $x$ est positif. Le signe de $g'(x)$ dépend donc du signe de $1 - x^2$.\n\n6. Étude du signe de $g'(x)$ :\n- Si $0 < x < 1$, alors $1 - x^2 > 0$ donc $g'(x) > 0$.\n- Si $x = 1$, alors $g'(1) = 0$.\n- Si $x > 1$, alors $1 - x^2 < 0$ donc $g'(x) < 0$.\n\n7. Conclusion : La fonction $g$ est croissante sur $]0;1[$, décroissante sur $]1; +\infty[$, avec un maximum en $x=1$.