1. **Énoncé du problème :** On considère la fonction $f$ définie sur $[0;20]$ par $$f(t) = 0,003t^3 - 0,12t^2 + 1,2t + 2,1$$ qui modélise le nombre de pucerons (en milliers) en fonction du temps $t$ (en jours) depuis l'introduction des coccinelles. On cherche à : - Déterminer la dérivée $f'(t)$. - Étudier le signe de $f'(t)$ sur $[0;20]$. - En déduire le tableau de variations de $f$ et le nombre maximal de pucerons. 2. **Formule utilisée :** La dérivée d'un polynôme est obtenue en appliquant la règle de dérivation terme à terme : $$\frac{d}{dt}(at^n) = nat^{n-1}$$ 3. **Calcul de la dérivée $f'(t)$ :** $$f(t) = 0,003t^3 - 0,12t^2 + 1,2t + 2,1$$ Donc $$f'(t) = 3 \times 0,003 t^{2} - 2 \times 0,12 t + 1,2 = 0,009 t^{2} - 0,24 t + 1,2$$ 4. **Étude du signe de $f'(t)$ sur $[0;20]$ :** On étudie le trinôme $g(t) = 0,009 t^{2} - 0,24 t + 1,2$. Calcul du discriminant : $$\Delta = (-0,24)^2 - 4 \times 0,009 \times 1,2 = 0,0576 - 0,0432 = 0,0144$$ Racines : $$t_1 = \frac{0,24 - \sqrt{0,0144}}{2 \times 0,009} = \frac{0,24 - 0,12}{0,018} = \frac{0,12}{0,018} = 6,67$$ $$t_2 = \frac{0,24 + 0,12}{0,018} = \frac{0,36}{0,018} = 20$$ Le coefficient devant $t^2$ est positif ($0,009 > 0$), donc $g(t)$ est positive en dehors des racines et négative entre elles. Sur $[0;20]$ : - Pour $t \in [0;6,67)$, $f'(t) > 0$ - Pour $t \in (6,67;20)$, $f'(t) < 0$ - Aux racines $t=6,67$ et $t=20$, $f'(t) = 0$ 5. **Tableau de variations de $f$ :** - $f$ est croissante sur $[0;6,67]$ - $f$ est décroissante sur $[6,67;20]$ Calcul des valeurs aux points critiques : $$f(0) = 2,1$$ $$f(6,67) = 0,003 \times (6,67)^3 - 0,12 \times (6,67)^2 + 1,2 \times 6,67 + 2,1$$ Calculons : $6,67^2 = 44,49$, $6,67^3 = 296,3$ $$f(6,67) = 0,003 \times 296,3 - 0,12 \times 44,49 + 1,2 \times 6,67 + 2,1 = 0,889 - 5,339 + 8,004 + 2,1 = 5,654$$ $$f(20) = 0,003 \times 8000 - 0,12 \times 400 + 1,2 \times 20 + 2,1 = 24 - 48 + 24 + 2,1 = 2,1$$ 6. **Conclusion :** Le nombre maximal de pucerons est environ $5,65$ milliers, atteint au jour $t \approx 6,67$. **Réponse finale :** $$\boxed{f'(t) = 0,009 t^{2} - 0,24 t + 1,2}$$ Le nombre maximal de pucerons est environ $5,65$ milliers au jour $6,67$.