1. **Énoncé du problème :** Calculer la dérivée de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 2x^3 + x - 2$ et dresser son tableau de variation. 2. **Formule utilisée :** La dérivée d'une fonction polynomiale $f(x) = ax^n$ est $f'(x) = nax^{n-1}$. 3. **Calcul de la dérivée :** $$f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3) + \frac{d}{dx}(x) - \frac{d}{dx}(2) = 3 \times 2 x^{3-1} + 1 - 0 = 6x^2 + 1$$ 4. **Étude du signe de $f'(x)$ :** Le terme $6x^2$ est toujours positif ou nul, donc $6x^2 + 1 > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. 5. **Conclusion sur la variation :** Puisque $f'(x) > 0$ pour tout $x$, la fonction $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. 6. **Tableau de variation :** - $x$ varie de $-\infty$ à $+\infty$. - $f'(x) > 0$ toujours. - $f$ est strictement croissante, donc $f(x)$ passe de $-\infty$ à $+\infty$. **Réponse finale :** $$f'(x) = 6x^2 + 1 > 0 \quad \text{pour tout } x \in \mathbb{R}$$ La fonction $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.