1. **Énoncé du problème** : Trouver les fonctions dérivées des fonctions données. 2. **Rappel des règles** : - La dérivée d'un produit $f(x) = u(x)v(x)$ est $f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$. - La dérivée d'un quotient $g(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$ est $g'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2}$. - La dérivée de $x^n$ est $nx^{n-1}$. - La dérivée de $\sqrt{x}$ est $\frac{1}{2\sqrt{x}}$. --- ### a) $f(x) = (3x^2 - 2x + 5)\sqrt{2x - 1}$ 1. Posons $u(x) = 3x^2 - 2x + 5$ et $v(x) = \sqrt{2x - 1} = (2x - 1)^{1/2}$. 2. Calculons $u'(x) = 6x - 2$. 3. Calculons $v'(x)$ : $$v'(x) = \frac{1}{2}(2x - 1)^{-1/2} \times 2 = \frac{1}{\sqrt{2x - 1}}$$ 4. Appliquons la règle du produit : $$f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = (6x - 2)\sqrt{2x - 1} + (3x^2 - 2x + 5)\frac{1}{\sqrt{2x - 1}}$$ 5. Mettons sous un dénominateur commun $\sqrt{2x - 1}$ : $$f'(x) = \frac{(6x - 2)(2x - 1) + (3x^2 - 2x + 5)}{\sqrt{2x - 1}}$$ 6. Développons le numérateur : $$(6x - 2)(2x - 1) = 12x^2 - 6x - 4x + 2 = 12x^2 - 10x + 2$$ 7. Additionnons : $$12x^2 - 10x + 2 + 3x^2 - 2x + 5 = 15x^2 - 12x + 7$$ 8. Donc : $$\boxed{f'(x) = \frac{15x^2 - 12x + 7}{\sqrt{2x - 1}}}$$ --- ### b) $g(x) = \frac{5x - 3}{x^4 + 2}$ 1. Posons $u(x) = 5x - 3$ et $v(x) = x^4 + 2$. 2. Calculons $u'(x) = 5$ et $v'(x) = 4x^3$. 3. Appliquons la règle du quotient : $$g'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2} = \frac{5(x^4 + 2) - (5x - 3)(4x^3)}{(x^4 + 2)^2}$$ 4. Développons le numérateur : $$5x^4 + 10 - (20x^4 - 12x^3) = 5x^4 + 10 - 20x^4 + 12x^3 = -15x^4 + 12x^3 + 10$$ 5. Donc : $$\boxed{g'(x) = \frac{-15x^4 + 12x^3 + 10}{(x^4 + 2)^2}}$$ --- ### c) $h(x) = \frac{6}{x^3} = 6x^{-3}$ 1. Utilisons la règle de puissance : $$h'(x) = 6 \times (-3)x^{-4} = -18x^{-4} = -\frac{18}{x^4}$$ 2. Donc : $$\boxed{h'(x) = -\frac{18}{x^4}}$$