1. Énonçons le problème : Calculer la dérivée des fonctions g(t), h(x) et y données. 2. Rappel de la règle de dérivation d'un quotient : $$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$$ 3. Calcul de la dérivée de $g(t) = \frac{t^2 + t + 2}{t}$ : - Posons $u = t^2 + t + 2$ et $v = t$. - Calculons $u' = 2t + 1$ et $v' = 1$. - Appliquons la formule : $$g'(t) = \frac{(2t + 1) \cdot t - (t^2 + t + 2) \cdot 1}{t^2}$$ - Développons le numérateur : $$= \frac{2t^2 + t - t^2 - t - 2}{t^2} = \frac{t^2 - 2}{t^2}$$ - On peut écrire : $$g'(t) = \frac{\cancel{t^2} - 2}{\cancel{t^2}} = 1 - \frac{2}{t^2}$$ 4. Calcul de la dérivée de $h(x) = \frac{1 - 2x^4}{x^3}$ : - Posons $u = 1 - 2x^4$ et $v = x^3$. - Calculons $u' = -8x^3$ et $v' = 3x^2$. - Appliquons la formule : $$h'(x) = \frac{(-8x^3) \cdot x^3 - (1 - 2x^4) \cdot 3x^2}{(x^3)^2}$$ - Simplifions le numérateur : $$= \frac{-8x^6 - 3x^2 + 6x^6}{x^6} = \frac{-2x^6 - 3x^2}{x^6}$$ - Factorisons et simplifions : $$= \frac{\cancel{x^2}(-2x^4 - 3)}{\cancel{x^2} x^4} = \frac{-2x^4 - 3}{x^4} = -2 - \frac{3}{x^4}$$ 5. Calcul de la dérivée de $$y = 2x + \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x}}$$ - Simplifions d'abord : $$y = 2x + 2 \cdot x^{-\frac{1}{2}}$$ - Dérivons terme par terme : $$y' = 2 + 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) x^{-\frac{3}{2}} = 2 - x^{-\frac{3}{2}}$$ 6. Résumé des dérivées finales : - $$g'(t) = 1 - \frac{2}{t^2}$$ - $$h'(x) = -2 - \frac{3}{x^4}$$ - $$y' = 2 - x^{-\frac{3}{2}}$$