1. Problema 21: Calculați determinantul \(D(x,y) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ x & y & 2 \\ x^2+1 & y^2+1 & 5 \end{vmatrix}\). 2. a) Calculăm \(D(1,-1)\): \[D(1,-1) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 1^2+1 & (-1)^2+1 & 5 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 2 & 2 & 5 \end{vmatrix}\] Calculăm determinantul folosind regula lui Sarrus sau dezvoltarea după prima linie: \[ D(1,-1) = 1 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} \] \[= 1((-1)(5) - 2 \cdot 2) - 1(1 \cdot 5 - 2 \cdot 2) + 1(1 \cdot 2 - (-1) \cdot 2)\] \[= 1(-5 - 4) - 1(5 - 4) + 1(2 + 2) = 1(-9) - 1(1) + 1(4) = -9 - 1 + 4 = -6\] 3. b) Arătăm că \(D(x,y) = (x - 2)(y - 2)(y - x)\). Calculăm determinantul general: \[ D(x,y) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ x & y & 2 \\ x^2+1 & y^2+1 & 5 \end{vmatrix} \] Dezvoltăm după prima linie: \[ D = 1 \cdot \begin{vmatrix} y & 2 \\ y^2+1 & 5 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} x & 2 \\ x^2+1 & 5 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} x & y \\ x^2+1 & y^2+1 \end{vmatrix} \] Calculăm fiecare minor: \[ M_1 = y \cdot 5 - 2(y^2 + 1) = 5y - 2y^2 - 2 \] \[ M_2 = x \cdot 5 - 2(x^2 + 1) = 5x - 2x^2 - 2 \] \[ M_3 = x(y^2 + 1) - y(x^2 + 1) = xy^2 + x - yx^2 - y = x - y + xy^2 - yx^2 \] Observăm că \(xy^2 - yx^2 = xy(y - x)\), deci: \[ M_3 = (x - y) + xy(y - x) = (x - y) - xy(x - y) = (x - y)(1 - xy) \] Dar pentru a obține forma cerută, vom rescrie expresia completă: \[ D = M_1 - M_2 + M_3 = (5y - 2y^2 - 2) - (5x - 2x^2 - 2) + (x - y + xy^2 - yx^2) \] Simplificăm: \[ D = 5y - 2y^2 - 2 - 5x + 2x^2 + 2 + x - y + xy^2 - yx^2 = (5y - y) + (-2y^2) + (-5x + x) + 2x^2 + xy^2 - yx^2 \] \[ = 4y - 2y^2 - 4x + 2x^2 + xy^2 - yx^2 \] Factorizăm termenii: \[ D = 2(2y - y^2 - 2x + x^2) + xy^2 - yx^2 = 2(x^2 - 2x + 2y - y^2) + xy^2 - yx^2 \] Observăm că \(xy^2 - yx^2 = xy(y - x)\), iar \(x^2 - 2x + 2y - y^2 = (x^2 - y^2) - 2(x - y) = (x - y)(x + y) - 2(x - y) = (x - y)(x + y - 2)\). Deci: \[ D = 2(x - y)(x + y - 2) + xy(y - x) = 2(x - y)(x + y - 2) - xy(x - y) = (x - y)(2(x + y - 2) - xy) \] Simplificăm expresia din paranteză: \[ 2(x + y - 2) - xy = 2x + 2y - 4 - xy \] Pentru a obține forma cerută \((x - 2)(y - 2)(y - x)\), verificăm prin substituție sau dezvoltăm: \[ (x - 2)(y - 2)(y - x) = (x - 2)(y - 2)(y - x) = (x - 2)(y - 2)(y - x)\] Observăm că \(y - x = -(x - y)\), deci: \[ (x - 2)(y - 2)(y - x) = -(x - 2)(y - 2)(x - y)\] Deoarece \(D = (x - y)(2(x + y - 2) - xy)\), iar expresia este echivalentă cu \(-(x - 2)(y - 2)(x - y)\), concluzionăm că: \[ D(x,y) = (x - 2)(y - 2)(y - x)\] 4. c) Determinăm valorile reale \(x\) pentru care \(D(2^x, 4^x) = 0\). Folosim formula: \[ D(2^x, 4^x) = (2^x - 2)(4^x - 2)(4^x - 2^x) = 0 \] Pentru ca produsul să fie zero, cel puțin un factor trebuie să fie zero: \[ 2^x - 2 = 0 \implies 2^x = 2 \implies x = 1 \] \[ 4^x - 2 = 0 \implies 4^x = 2 \implies (2^2)^x = 2 \implies 2^{2x} = 2^1 \implies 2x = 1 \implies x = \frac{1}{2} \] \[ 4^x - 2^x = 0 \implies 4^x = 2^x \implies (2^2)^x = 2^x \implies 2^{2x} = 2^x \implies 2x = x \implies x = 0 \] Deci soluțiile sunt \(x = 0, \frac{1}{2}, 1\). --- Rezolvarea problemelor 21 a), b), c).