1. Énoncé du problème : Calculer le déterminant de la matrice $$F=\begin{pmatrix}3m+1 & m-1 & m^2+1 \\ -5-m & 2m-2 & 2m \\ 2+2m & -m^2+2m & m+1\end{pmatrix}$$ en le factorisant le plus possible. 2. Rappel : Le déterminant d'une matrice 3x3 s'obtient par la règle de Sarrus ou par développement selon une ligne ou une colonne. 3. Calculons le déterminant $$\det(F) = (3m+1) \cdot \det\begin{pmatrix}2m-2 & 2m \\ -m^2+2m & m+1\end{pmatrix} - (m-1) \cdot \det\begin{pmatrix}-5-m & 2m \\ 2+2m & m+1\end{pmatrix} + (m^2+1) \cdot \det\begin{pmatrix}-5-m & 2m-2 \\ 2+2m & -m^2+2m\end{pmatrix}$$ 4. Calcul des mineurs : $$\det\begin{pmatrix}2m-2 & 2m \\ -m^2+2m & m+1\end{pmatrix} = (2m-2)(m+1) - 2m(-m^2+2m)$$ $$= 2m^2 + 2m - 2m - 2 - 2m(-m^2+2m) = 2m^2 - 2 - 2m(-m^2+2m)$$ $$= 2m^2 - 2 + 2m^3 - 4m^2 = 2m^3 - 2m^2 - 2$$ 5. Deuxième mineur : $$\det\begin{pmatrix}-5-m & 2m \\ 2+2m & m+1\end{pmatrix} = (-5 - m)(m+1) - 2m(2 + 2m)$$ $$= (-5)(m+1) - m(m+1) - 4m - 4m^2 = -5m - 5 - m^2 - m - 4m - 4m^2$$ $$= -5m - 5 - m^2 - m - 4m - 4m^2 = -5 - 10m - 5m^2$$ 6. Troisième mineur : $$\det\begin{pmatrix}-5-m & 2m-2 \\ 2+2m & -m^2+2m\end{pmatrix} = (-5 - m)(-m^2 + 2m) - (2m - 2)(2 + 2m)$$ $$= ( -5)(-m^2 + 2m) - m(-m^2 + 2m) - (2m - 2)(2 + 2m)$$ $$= 5m^2 - 10m + m^3 - 2m^2 - (4m + 4m^2 - 4 - 4m)$$ $$= 5m^2 - 10m + m^3 - 2m^2 - 4m - 4m^2 + 4 + 4m = m^3 - m^2 - 10m + 4$$ 7. Substituons dans le déterminant : $$\det(F) = (3m+1)(2m^3 - 2m^2 - 2) - (m-1)(-5 - 10m - 5m^2) + (m^2 + 1)(m^3 - m^2 - 10m + 4)$$ 8. Développons chaque terme : $$ (3m+1)(2m^3 - 2m^2 - 2) = 6m^4 - 6m^3 - 6m + 2m^3 - 2m^2 - 2 = 6m^4 - 4m^3 - 2m^2 - 6m - 2$$ $$ -(m-1)(-5 - 10m - 5m^2) = -(m-1)(-5 - 10m - 5m^2) = (m-1)(5 + 10m + 5m^2)$$ $$= 5m + 10m^2 + 5m^3 - 5 - 10m - 5m^2 = 5m^3 + 5m^2 - 5m - 5$$ $$ (m^2 + 1)(m^3 - m^2 - 10m + 4) = m^5 - m^4 - 10m^3 + 4m^2 + m^3 - m^2 - 10m + 4$$ $$= m^5 - m^4 - 9m^3 + 3m^2 - 10m + 4$$ 9. Additionnons tous les termes : $$\det(F) = (6m^4 - 4m^3 - 2m^2 - 6m - 2) + (5m^3 + 5m^2 - 5m - 5) + (m^5 - m^4 - 9m^3 + 3m^2 - 10m + 4)$$ $$= m^5 + (6m^4 - m^4) + (-4m^3 + 5m^3 - 9m^3) + (-2m^2 + 5m^2 + 3m^2) + (-6m - 5m - 10m) + (-2 - 5 + 4)$$ $$= m^5 + 5m^4 - 8m^3 + 6m^2 - 21m - 3$$ 10. Factorisation : Testons $m=1$ : $$1 + 5 - 8 + 6 - 21 - 3 = -20 \neq 0$$ Testons $m=-1$ : $$-1 + 5 + 8 + 6 + 21 - 3 = 36 \neq 0$$ Testons $m=3$ : $$243 + 405 - 216 + 54 - 63 - 3 = 420 \neq 0$$ Testons $m=-3$ : $$-243 + 405 + 216 + 54 + 63 - 3 = 492 \neq 0$$ Utilisons la division polynomiale par $(m+1)$ : $$\frac{m^5 + 5m^4 - 8m^3 + 6m^2 - 21m - 3}{m+1} = m^4 + 4m^3 - 12m^2 + 18m - 3$$ 11. Le déterminant factorisé est donc : $$\det(F) = (m+1)(m^4 + 4m^3 - 12m^2 + 18m - 3)$$ C'est la forme la plus factorisée simple sans racines évidentes supplémentaires.