1. **Énoncé du problème :** Calculer le déterminant de la matrice $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 6 & -3 \\ 3 & 10 & -6 \end{pmatrix}$. 2. **Formule utilisée :** Le déterminant d'une matrice $3 \times 3$ est donné par $$\det(A) = a_{11}(a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33} - a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32} - a_{22}a_{31})$$ 3. **Calcul des termes :** - $a_{11} = 1$, $a_{12} = 2$, $a_{13} = 0$ - $a_{21} = 2$, $a_{22} = 6$, $a_{23} = -3$ - $a_{31} = 3$, $a_{32} = 10$, $a_{33} = -6$ 4. **Calcul intermédiaire :** $$a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32} = 6 \times (-6) - (-3) \times 10 = -36 + 30 = -6$$ $$a_{21}a_{33} - a_{23}a_{31} = 2 \times (-6) - (-3) \times 3 = -12 + 9 = -3$$ $$a_{21}a_{32} - a_{22}a_{31} = 2 \times 10 - 6 \times 3 = 20 - 18 = 2$$ 5. **Substitution dans la formule :** $$\det(A) = 1 \times (-6) - 2 \times (-3) + 0 \times 2 = -6 + 6 + 0 = 0$$ 6. **Conclusion :** Le déterminant de $A$ est $0$. 7. **Interprétation :** Une matrice est inversible si et seulement si son déterminant est non nul. Ici, $\det(A) = 0$, donc $A$ n'est pas inversible.