1. Énonçons le problème : Calculer le déterminant de la matrice $$A = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & -1 & 1 \\ -4 & -8 & -2 & -1 \\ -7 & 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}$$ 2. Rappel de la formule : Le déterminant d'une matrice $4 \times 4$ peut être calculé par développement selon une ligne ou une colonne, en utilisant la règle de Laplace. 3. Choisissons la première ligne pour le développement : $$\det(A) = \sum_{j=1}^4 (-1)^{1+j} a_{1j} M_{1j}$$ avec $a_{1j}$ les éléments de la première ligne et $M_{1j}$ les mineurs correspondants (déterminants des matrices $3 \times 3$ obtenues en supprimant la première ligne et la colonne $j$). 4. Calculons chaque mineur : - Pour $j=1$, $a_{11} = 2$, la matrice mineure est $$\begin{pmatrix} -1 & -1 & 1 \\ -8 & -2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}$$ - Pour $j=2$, $a_{12} = 4$, la matrice mineure est $$\begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ -4 & -2 & -1 \\ -7 & -1 & 2 \end{pmatrix}$$ - Pour $j=3$, $a_{13} = 1$, la matrice mineure est $$\begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ -4 & -8 & -1 \\ -7 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$ - Pour $j=4$, $a_{14} = -1$, la matrice mineure est $$\begin{pmatrix} 0 & -1 & -1 \\ -4 & -8 & -2 \\ -7 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$ 5. Calculons chaque déterminant $3 \times 3$ en utilisant la règle de Sarrus ou la formule générale : - $M_{11} = (-1) \times (-2 \times 2 - (-1) \times (-1)) - (-1) \times (-8 \times 2 - (-1) \times 0) + 1 \times (-8 \times (-1) - (-2) \times 0)$ Calculons pas à pas : $$-2 \times 2 = -4$$ $$-1 \times (-1) = 1$$ Donc $$-2 \times 2 - (-1) \times (-1) = -4 - 1 = -5$$ $$-8 \times 2 = -16$$ $$-1 \times 0 = 0$$ Donc $$-8 \times 2 - (-1) \times 0 = -16 - 0 = -16$$ $$-8 \times (-1) = 8$$ $$-2 \times 0 = 0$$ Donc $$-8 \times (-1) - (-2) \times 0 = 8 - 0 = 8$$ Donc $$M_{11} = (-1)(-5) - (-1)(-16) + 1(8) = 5 - 16 + 8 = -3$$ - $M_{12} = 0 \times (-2 \times 2 - (-1) \times (-1)) - (-1) \times (-4 \times 2 - (-1) \times (-7)) + 1 \times (-4 \times (-1) - (-2) \times (-7))$ Calculons : $$-2 \times 2 = -4$$ $$-1 \times (-1) = 1$$ Donc $$-2 \times 2 - (-1) \times (-1) = -4 - 1 = -5$$ $$-4 \times 2 = -8$$ $$-1 \times (-7) = 7$$ Donc $$-4 \times 2 - (-1) \times (-7) = -8 - 7 = -15$$ $$-4 \times (-1) = 4$$ $$-2 \times (-7) = 14$$ Donc $$-4 \times (-1) - (-2) \times (-7) = 4 - 14 = -10$$ Donc $$M_{12} = 0 \times (-5) - (-1)(-15) + 1(-10) = 0 - 15 - 10 = -25$$ - $M_{13} = 0 \times (-8 \times 2 - (-1) \times 0) - (-1) \times (-4 \times 2 - (-1) \times (-7)) + 1 \times (-4 \times 0 - (-8) \times (-7))$ Calculons : $$-8 \times 2 = -16$$ $$-1 \times 0 = 0$$ Donc $$-8 \times 2 - (-1) \times 0 = -16 - 0 = -16$$ $$-4 \times 2 = -8$$ $$-1 \times (-7) = 7$$ Donc $$-4 \times 2 - (-1) \times (-7) = -8 - 7 = -15$$ $$-4 \times 0 = 0$$ $$-8 \times (-7) = 56$$ Donc $$-4 \times 0 - (-8) \times (-7) = 0 - 56 = -56$$ Donc $$M_{13} = 0 \times (-16) - (-1)(-15) + 1(-56) = 0 - 15 - 56 = -71$$ - $M_{14} = 0 \times (-8 \times (-1) - (-2) \times 0) - (-1) \times (-4 \times (-1) - (-2) \times (-7)) + (-1) \times (-4 \times 0 - (-8) \times (-7))$ Calculons : $$-8 \times (-1) = 8$$ $$-2 \times 0 = 0$$ Donc $$-8 \times (-1) - (-2) \times 0 = 8 - 0 = 8$$ $$-4 \times (-1) = 4$$ $$-2 \times (-7) = 14$$ Donc $$-4 \times (-1) - (-2) \times (-7) = 4 - 14 = -10$$ $$-4 \times 0 = 0$$ $$-8 \times (-7) = 56$$ Donc $$-4 \times 0 - (-8) \times (-7) = 0 - 56 = -56$$ Donc $$M_{14} = 0 \times 8 - (-1)(-10) + (-1)(-56) = 0 - 10 + 56 = 46$$ 6. Calculons le déterminant final : $$\det(A) = \sum_{j=1}^4 (-1)^{1+j} a_{1j} M_{1j} = (+)2 \times (-3) - 4 \times (-25) + 1 \times (-71) - 1 \times 46$$ Calculons : $$2 \times (-3) = -6$$ $$-4 \times (-25) = +100$$ $$1 \times (-71) = -71$$ $$-1 \times 46 = -46$$ Donc $$\det(A) = -6 + 100 - 71 - 46 = (-6 + 100) - (71 + 46) = 94 - 117 = -23$$ 7. Conclusion : Le déterminant de la matrice donnée est $$\boxed{-23}$$.