1. **Énoncé du problème** : Calculer le déterminant de la matrice $F$ donnée par $$F = \begin{pmatrix} 3m + 1 & m - 1 & m^2 + 1 \\ -5 - m & 2m - 2 & 2m \\ 2 + 2m & -m^2 + 1 & m + 1 \end{pmatrix}$$ 2. **Formule du déterminant pour une matrice $3 \times 3$** : Le déterminant de $F = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}$ est donné par $$\det(F) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)$$ 3. **Identification des coefficients** : $$a = 3m + 1, \quad b = m - 1, \quad c = m^2 + 1$$ $$d = -5 - m, \quad e = 2m - 2, \quad f = 2m$$ $$g = 2 + 2m, \quad h = -m^2 + 1, \quad i = m + 1$$ 4. **Calcul des produits intermédiaires** : $$ei = (2m - 2)(m + 1) = 2m^2 + 2m - 2m - 2 = 2m^2 - 2$$ $$fh = 2m(-m^2 + 1) = -2m^3 + 2m$$ $$di = (-5 - m)(m + 1) = -5m - 5 - m^2 - m = -m^2 - 6m - 5$$ $$fg = 2m(2 + 2m) = 4m + 4m^2$$ $$dh = (-5 - m)(-m^2 + 1) = 5m^2 - 5 + m^3 - m = m^3 + 5m^2 - m - 5$$ $$eg = (2m - 2)(2 + 2m) = 4m + 4m^2 - 4 - 4m = 4m^2 - 4$$ 5. **Substitution dans la formule** : $$\det(F) = (3m + 1)((2m^2 - 2) - (-2m^3 + 2m)) - (m - 1)((-m^2 - 6m - 5) - (4m + 4m^2)) + (m^2 + 1)((m^3 + 5m^2 - m - 5) - (4m^2 - 4))$$ 6. **Simplification des parenthèses** : $$= (3m + 1)(2m^2 - 2 + 2m^3 - 2m) - (m - 1)(-m^2 - 6m - 5 - 4m - 4m^2) + (m^2 + 1)(m^3 + 5m^2 - m - 5 - 4m^2 + 4)$$ $$= (3m + 1)(2m^3 + 2m^2 - 2m - 2) - (m - 1)(-5m^2 - 10m - 5) + (m^2 + 1)(m^3 + m^2 - m - 1)$$ 7. **Développement** : $$= (3m + 1)(2m^3 + 2m^2 - 2m - 2) + (m - 1)(5m^2 + 10m + 5) + (m^2 + 1)(m^3 + m^2 - m - 1)$$ 8. **Calcul de chaque terme** : - Premier terme : $$= 3m \times 2m^3 + 3m \times 2m^2 - 3m \times 2m - 3m \times 2 + 1 \times 2m^3 + 1 \times 2m^2 - 1 \times 2m - 1 \times 2$$ $$= 6m^4 + 6m^3 - 6m^2 - 6m + 2m^3 + 2m^2 - 2m - 2$$ $$= 6m^4 + 8m^3 - 4m^2 - 8m - 2$$ - Deuxième terme : $$= m \times 5m^2 + m \times 10m + m \times 5 - 1 \times 5m^2 - 1 \times 10m - 1 \times 5$$ $$= 5m^3 + 10m^2 + 5m - 5m^2 - 10m - 5$$ $$= 5m^3 + 5m^2 - 5m - 5$$ - Troisième terme : $$= m^2 \times m^3 + m^2 \times m^2 - m^2 \times m - m^2 \times 1 + 1 \times m^3 + 1 \times m^2 - 1 \times m - 1 \times 1$$ $$= m^5 + m^4 - m^3 - m^2 + m^3 + m^2 - m - 1$$ $$= m^5 + m^4 - m - 1$$ 9. **Somme des termes** : $$\det(F) = (6m^4 + 8m^3 - 4m^2 - 8m - 2) + (5m^3 + 5m^2 - 5m - 5) + (m^5 + m^4 - m - 1)$$ 10. **Regroupement des termes semblables** : $$= m^5 + (6m^4 + m^4) + (8m^3 + 5m^3) + (-4m^2 + 5m^2) + (-8m - 5m - m) + (-2 - 5 - 1)$$ $$= m^5 + 7m^4 + 13m^3 + m^2 - 14m - 8$$ **Réponse finale** : $$\boxed{\det(F) = m^5 + 7m^4 + 13m^3 + m^2 - 14m - 8}$$