1. **Énoncé du problème :** Développer puis réduire les expressions suivantes : - $-2a(3a-4)$ - $(3\sqrt{2}+4)(-2\sqrt{5}-1)$ - $-\sqrt{6}(1\sqrt{2}-2\sqrt{3})$ - $7x(2x-5)-x(2x-5)$ - $(3x-1)(2-x)-(5x+2)(3-x)$ - $2\sqrt{3}(4-\sqrt{3})(\sqrt{2}+4\sqrt{3})$ --- 2. **Formules et règles importantes :** - Pour développer, on utilise la distributivité : $a(b+c) = ab + ac$ - Pour réduire, on combine les termes semblables. - Pour les racines carrées, on simplifie en utilisant $\sqrt{a}\times\sqrt{b} = \sqrt{ab}$. --- 3. **Développement et réduction :** **a.** $-2a(3a-4) = -2a \times 3a + (-2a) \times (-4) = -6a^2 + 8a$ **b.** $(3\sqrt{2}+4)(-2\sqrt{5}-1)$ $= 3\sqrt{2} \times (-2\sqrt{5}) + 3\sqrt{2} \times (-1) + 4 \times (-2\sqrt{5}) + 4 \times (-1)$ $= -6\sqrt{10} - 3\sqrt{2} - 8\sqrt{5} - 4$ **c.** $-\sqrt{6}(1\sqrt{2} - 2\sqrt{3}) = -\sqrt{6} \times \sqrt{2} + \sqrt{6} \times 2\sqrt{3}$ $= -\sqrt{12} + 2\sqrt{18} = -2\sqrt{3} + 2 \times 3 \sqrt{2} = -2\sqrt{3} + 6\sqrt{2}$ **d.** $7x(2x-5) - x(2x-5)$ $= (14x^2 - 35x) - (2x^2 - 5x) = 14x^2 - 35x - 2x^2 + 5x = 12x^2 - 30x$ **e.** $(3x-1)(2-x) - (5x+2)(3-x)$ Développons chaque produit : $(3x-1)(2-x) = 3x \times 2 - 3x \times x - 1 \times 2 + 1 \times x = 6x - 3x^2 - 2 + x = -3x^2 + 7x - 2$ $(5x+2)(3-x) = 5x \times 3 - 5x \times x + 2 \times 3 - 2 \times x = 15x - 5x^2 + 6 - 2x = -5x^2 + 13x + 6$ Soustraction : $(-3x^2 + 7x - 2) - (-5x^2 + 13x + 6) = -3x^2 + 7x - 2 + 5x^2 - 13x - 6 = 2x^2 - 6x - 8$ **f.** $2\sqrt{3}(4 - \sqrt{3})(\sqrt{2} + 4\sqrt{3})$ D'abord, développons $(4 - \sqrt{3})(\sqrt{2} + 4\sqrt{3})$ : $= 4 \times \sqrt{2} + 4 \times 4\sqrt{3} - \sqrt{3} \times \sqrt{2} - \sqrt{3} \times 4\sqrt{3}$ $= 4\sqrt{2} + 16\sqrt{3} - \sqrt{6} - 4 \times 3$ $= 4\sqrt{2} + 16\sqrt{3} - \sqrt{6} - 12$ Ensuite, multiplions par $2\sqrt{3}$ : $2\sqrt{3} \times (4\sqrt{2} + 16\sqrt{3} - \sqrt{6} - 12)$ $= 2\sqrt{3} \times 4\sqrt{2} + 2\sqrt{3} \times 16\sqrt{3} - 2\sqrt{3} \times \sqrt{6} - 2\sqrt{3} \times 12$ $= 8\sqrt{6} + 32 \times 3 - 2\sqrt{18} - 24\sqrt{3}$ $= 8\sqrt{6} + 96 - 2 \times 3\sqrt{2} - 24\sqrt{3}$ $= 8\sqrt{6} + 96 - 6\sqrt{2} - 24\sqrt{3}$ --- 4. **Réponses finales :** - $-6a^2 + 8a$ - $-6\sqrt{10} - 3\sqrt{2} - 8\sqrt{5} - 4$ - $-2\sqrt{3} + 6\sqrt{2}$ - $12x^2 - 30x$ - $2x^2 - 6x - 8$ - $8\sqrt{6} + 96 - 6\sqrt{2} - 24\sqrt{3}$