1. **Énoncé du problème :** Développer $P(x)=x^2-9+(x-3)(3x+5)$, résoudre $P(x)=-24$, montrer que $P(x)=4(x-3)(x+2)$, factoriser $Q(x)=(x+2)^2-4x-8$, déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles $S(x)=P(x)(x+2)(x-2)$ est définie, simplifier $S(x)$, et résoudre $S(x)=5$. 2. **Développer $P(x)$ :** $$P(x)=x^2-9+(x-3)(3x+5)$$ Développons $(x-3)(3x+5)$ : $$(x-3)(3x+5)=x\times3x + x\times5 - 3\times3x - 3\times5 = 3x^2 + 5x - 9x - 15 = 3x^2 - 4x - 15$$ Donc : $$P(x) = x^2 - 9 + 3x^2 - 4x - 15 = (x^2 + 3x^2) - 4x + (-9 - 15) = 4x^2 - 4x - 24$$ 3. **Résoudre $P(x) = -24$ :** On a : $$4x^2 - 4x - 24 = -24$$ Ajouter 24 des deux côtés : $$4x^2 - 4x - 24 + 24 = -24 + 24$$ $$4x^2 - 4x = 0$$ Factoriser : $$4x(x - 1) = 0$$ Donc $x=0$ ou $x=1$. 4. **Montrer que $P(x) = 4(x-3)(x+2)$ :** Développons $4(x-3)(x+2)$ : $$(x-3)(x+2) = x^2 + 2x - 3x - 6 = x^2 - x - 6$$ Donc : $$4(x-3)(x+2) = 4(x^2 - x - 6) = 4x^2 - 4x - 24$$ Ce qui est égal à $P(x)$, donc la propriété est vérifiée. 5. **Factoriser $Q(x) = (x+2)^2 - 4x - 8$ :** Développons $(x+2)^2$ : $$(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4$$ Donc : $$Q(x) = x^2 + 4x + 4 - 4x - 8 = x^2 - 4$$ Reconnaissons une différence de carrés : $$x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$$ 6. **Déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles $S(x) = P(x)(x+2)(x-2)$ est définie :** $P(x)$ est un polynôme défini pour tout $x$ réel. Les facteurs $(x+2)$ et $(x-2)$ sont aussi définis pour tout $x$. Donc $S(x)$ est définie pour tout $x \in \mathbb{R}$. 7. **Simplifier $S(x)$ :** On a : $$S(x) = P(x)(x+2)(x-2) = 4(x-3)(x+2)(x+2)(x-2)$$ Regroupons les termes : $$(x+2)(x+2) = (x+2)^2$$ Donc : $$S(x) = 4(x-3)(x-2)(x+2)^2$$ 8. **Résoudre $S(x) = 5$ :** $$4(x-3)(x-2)(x+2)^2 = 5$$ Divisons par 4 : $$(x-3)(x-2)(x+2)^2 = \frac{5}{4}$$ Cette équation est un polynôme de degré 4, la résolution exacte nécessite des méthodes numériques ou une approximation. **Réponse finale :** - $P(x) = 4x^2 - 4x - 24$ - Solutions de $P(x) = -24$ : $x=0$ ou $x=1$ - $P(x) = 4(x-3)(x+2)$ - $Q(x) = (x-2)(x+2)$ - $S(x)$ est définie pour tout $x$ réel - $S(x) = 4(x-3)(x-2)(x+2)^2$ - $S(x) = 5$ équivaut à $(x-3)(x-2)(x+2)^2 = \frac{5}{4}$