1. Énoncé du problème : On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $$g(x) = \frac{x + 1}{x^2 + 1}$$ On veut montrer que pour tout $h \in \mathbb{R}$, $$g(1 + h) - g(1) = \frac{-h \cdot (h + 1)}{h^2 + 2h + 2}$$ 2. Calcul de $g(1+h)$ : Substituons $x = 1 + h$ dans $g(x)$ : $$g(1+h) = \frac{(1+h) + 1}{(1+h)^2 + 1} = \frac{h + 2}{(1 + 2h + h^2) + 1} = \frac{h + 2}{h^2 + 2h + 2}$$ 3. Calcul de $g(1)$ : $$g(1) = \frac{1 + 1}{1^2 + 1} = \frac{2}{2} = 1$$ 4. Calcul de la différence $g(1+h) - g(1)$ : $$g(1+h) - g(1) = \frac{h + 2}{h^2 + 2h + 2} - 1 = \frac{h + 2}{h^2 + 2h + 2} - \frac{h^2 + 2h + 2}{h^2 + 2h + 2} = \frac{h + 2 - (h^2 + 2h + 2)}{h^2 + 2h + 2}$$ 5. Simplification du numérateur : $$h + 2 - (h^2 + 2h + 2) = h + 2 - h^2 - 2h - 2 = -h^2 - h$$ 6. Factorisation du numérateur : $$-h^2 - h = -h(h + 1)$$ 7. Conclusion : On obtient bien $$g(1+h) - g(1) = \frac{-h(h + 1)}{h^2 + 2h + 2}$$ Cette égalité est donc démontrée.