1. **Énoncé du problème :** Justifier graphiquement que, pour tout $x \in ]0,+\infty[$, on a $g(x) - h(x) > 0$ avec $g(x) = x^2$ et $h(x) = 2 \ln x - (\ln x)^2$. 2. **Formule et règles importantes :** On considère la différence $g(x) - h(x) = x^2 - \big(2 \ln x - (\ln x)^2\big) = x^2 - 2 \ln x + (\ln x)^2$. 3. **Travail intermédiaire :** On peut réécrire cette expression comme $$g(x) - h(x) = x^2 - 2 \ln x + (\ln x)^2 = x^2 - 2 \ln x + (\ln x)^2.$$ 4. **Interprétation graphique :** Le graphique montre que la courbe de $g(x) = x^2$ est toujours au-dessus de celle de $h(x)$ sur $]0,+\infty[$, donc $g(x) - h(x) > 0$ pour tout $x > 0$. 5. **Conséquence :** Puisque $g(x) - h(x) > 0$, on a $$x^2 - (2 \ln x - (\ln x)^2) > 0 \implies 2 \ln x - (\ln x)^2 < x^2.$$ En divisant par $x^2 > 0$, on obtient $$\frac{2 \ln x - (\ln x)^2}{x^2} < 1.$$