1. Énoncé du problème : Comparer les deux nombres $A = \frac{n+2}{n+3}$ et $B = \frac{n+3}{n+4}$ où $n$ est un entier naturel. 2. Calcul de la différence $A - B$ : $$A - B = \frac{n+2}{n+3} - \frac{n+3}{n+4}$$ Pour soustraire ces fractions, on met au même dénominateur : $$A - B = \frac{(n+2)(n+4) - (n+3)^2}{(n+3)(n+4)}$$ 3. Développement du numérateur : $$(n+2)(n+4) = n^2 + 4n + 2n + 8 = n^2 + 6n + 8$$ $$(n+3)^2 = n^2 + 6n + 9$$ 4. Soustraction dans le numérateur : $$n^2 + 6n + 8 - (n^2 + 6n + 9) = n^2 + 6n + 8 - n^2 - 6n - 9 = -1$$ 5. Conclusion sur la différence : $$A - B = \frac{-1}{(n+3)(n+4)}$$ Ce qui justifie la formule demandée. 6. Étude du signe de $A - B$ : Pour $n$ entier naturel, $n \geq 0$, donc $n+3 > 0$ et $n+4 > 0$. Le dénominateur $(n+3)(n+4)$ est donc strictement positif. Le numérateur est $-1$, strictement négatif. 7. Par conséquent, la fraction $\frac{-1}{(n+3)(n+4)}$ est strictement négative. Donc $A - B < 0$ pour tout entier naturel $n$. 8. Conclusion finale : Pour tout entier naturel $n$, on a $A < B$.