1. Énonçons le problème : Montrer que $$U_{n+1} - U_n = \frac{-2}{n(n+1)(n+2)}$$ où $$U_n = \frac{1}{n(n+1)}$$. 2. Écrivons $$U_{n+1}$$ en remplaçant $$n$$ par $$n+1$$ dans $$U_n$$ : $$U_{n+1} = \frac{1}{(n+1)(n+2)}$$. 3. Calculons la différence : $$U_{n+1} - U_n = \frac{1}{(n+1)(n+2)} - \frac{1}{n(n+1)}$$. 4. Mettons au même dénominateur : $$= \frac{n(n+1) - (n+1)(n+2)}{n(n+1)(n+2)(n+1)}$$ 5. Simplifions le numérateur : $$n(n+1) - (n+1)(n+2) = (n+1)(n - (n+2)) = (n+1)(-2) = -2(n+1)$$. 6. Donc : $$U_{n+1} - U_n = \frac{-2(n+1)}{n(n+1)(n+2)}$$. 7. On peut annuler $$n+1$$ au numérateur et au dénominateur : $$U_{n+1} - U_n = \frac{-2\cancel{(n+1)}}{n\cancel{(n+1)}(n+2)}$$. 8. Résultat final : $$U_{n+1} - U_n = \frac{-2}{n(n+1)(n+2)}$$. Ceci démontre la relation demandée.