1. Calcule le discriminant du polynôme $3x^2 - x + 2$. Rappel: le discriminant est donné par $$\Delta = b^2 - 4ac$$ avec $a=3$, $b=-1$, $c=2$. $$\Delta = (-1)^2 - 4 \times 3 \times 2 = 1 - 24 = -23$$ Le discriminant est donc $-23$. --- 2. Pour $P(x) = x^2 - 6x + 5$: 2.1 Montrer que 1 est une solution de $P(x)=0$ sans utiliser le discriminant. Calculons $P(1)$: $$P(1) = 1^2 - 6 imes 1 + 5 = 1 - 6 + 5 = 0$$ 1 est donc bien une solution. 2.2 On admet que la deuxième solution est 5. (a) Factoriser $P(x)$: Puisque $P(x)$ a pour racines 1 et 5, on peut écrire: $$P(x) = (x - 1)(x - 5)$$ (b) Étudier le signe de $P(x)$ selon $x$: - Entre les racines (1,5), $P(x) < 0$ car c'est un polynôme du second degré avec un coefficient dominant positif. - Pour $x < 1$, $P(x) > 0$. - Pour $x > 5$, $P(x) > 0$. --- 3. Résoudre $P(x) \geq 0$ sur $\mathbb{R}$: D'après l'étude du signe, $P(x) \geq 0$ pour $x \leq 1$ ou $x \geq 5$. En notation d'intervalle: $$(-\infty, 1] \cup [5, +\infty)$$ --- 4. 4.a Équation $(E): \frac{3 - 2x}{2x - 6} = 0$. Condition d'existence: le dénominateur $\neq 0$ donc: $$2x - 6 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$$ 4.b Résoudre $(E)$. Nous avons: $\frac{3 - 2x}{2x - 6} = 0 \Rightarrow 3 - 2x = 0$ (numérateur nul) Donc: $$3 - 2x = 0 \Rightarrow 2x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{2}$$ Cette solution est valide car $x=\frac{3}{2} \neq 3$. --- 5. Problème de la coopérative: Terrain initial: largeur $=3$m, longueur $=7$m. On ajoute une longueur identique $x$ aux deux dimensions. Surface finale: $$A = (3 + x)(7 + x) = 60$$ Développons: $$21 + 3x + 7x + x^2 = 60$$ $$x^2 + 10x + 21 = 60$$ $$x^2 + 10x + 21 - 60 = 0$$ $$x^2 + 10x - 39 = 0$$ Calcul du discriminant: $$\Delta = 10^2 - 4 \times 1 \times (-39) = 100 + 156 = 256$$ Racines: $$x = \frac{-10 \pm \sqrt{256}}{2} = \frac{-10 \pm 16}{2}$$ Solutions: $$x_1 = \frac{-10 - 16}{2} = -13$$ (rejetée car négative) $$x_2 = \frac{-10 + 16}{2} = 3$$ La longueur identique à ajouter est donc $3$ mètres.