1. **Stating the problem:** Risolvere la disequazione $$\frac{4x^2 + 4x + 1}{x^2 + 6x + 8} < 0$$. 2. **Formula and rules:** Una frazione è negativa se il numeratore e il denominatore hanno segni opposti. 3. **Fattorizzazione:** - Numeratore: $$4x^2 + 4x + 1 = (2x + 1)^2$$ (quadrato di un binomio). - Denominatore: $$x^2 + 6x + 8 = (x + 2)(x + 4)$$. 4. **Analisi del segno:** - Numeratore $$(2x + 1)^2 \geq 0$$ per ogni $x$, e vale zero solo se $2x + 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}$. - Denominatore cambia segno in $x = -2$ e $x = -4$. 5. **Intervalli per il denominatore:** - Per $x < -4$, $(x+2)<0$ e $(x+4)<0$ quindi denominatore $>0$. - Per $-4 < x < -2$, $(x+4)>0$ e $(x+2)<0$ quindi denominatore $<0$. - Per $x > -2$, $(x+2)>0$ e $(x+4)>0$ quindi denominatore $>0$. 6. **Segno della frazione:** - Numeratore è sempre $\geq 0$. - La frazione è negativa solo se numeratore $>0$ e denominatore $<0$. - Numeratore è zero in $x = -\frac{1}{2}$, quindi frazione è zero lì, non negativa. 7. **Soluzione:** - La frazione è negativa solo in $-4 < x < -2$. - Escludiamo i punti dove denominatore è zero: $x = -4, -2$. **Risposta finale:** $$\boxed{(-4, -2)}$$