1. **Énoncé du problème :** Soit $n$ un entier naturel, on pose $A_n = 97 \cdot 6^n$ et $B_n = 9409 \cdot 6^{2n}$. 2. **Question 1 : Le nombre $A_0$ est-il premier ?** Calculons $A_0$ : $$A_0 = 97 \cdot 6^0 = 97 \cdot 1 = 97$$ Le nombre 97 est un nombre premier connu. **Réponse :** Oui, $A_0 = 97$ est un nombre premier. 3. **Question 2 : Justifier que $A_n$ divise $B_n$ pour tout entier naturel $n$.** On a : $$A_n = 97 \cdot 6^n$$ $$B_n = 9409 \cdot 6^{2n}$$ Or, $9409 = 97^2$ car $97^2 = 9409$. Donc : $$B_n = 97^2 \cdot 6^{2n} = 97 \cdot 6^n \cdot 97 \cdot 6^n = A_n \cdot (97 \cdot 6^n)$$ Ainsi, $A_n$ divise $B_n$ car $B_n = A_n \times (97 \cdot 6^n)$. 4. **Question 3a : Écrire $B_n$ en produit de facteurs premiers.** On décompose chaque facteur : - $97$ est premier. - $6 = 2 \times 3$. Donc : $$B_n = 97^2 \cdot (6^{2n}) = 97^2 \cdot (2 \times 3)^{2n} = 97^2 \cdot 2^{2n} \cdot 3^{2n}$$ 5. **Question 3b : Trouver $n$ pour que $B_n$ admette 75 facteurs premiers.** Le nombre total de facteurs premiers (avec multiplicité) dans $B_n$ est : $$2 \text{ (de } 97^2) + 2n \text{ (de } 2^{2n}) + 2n \text{ (de } 3^{2n}) = 2 + 2n + 2n = 2 + 4n$$ On veut : $$2 + 4n = 75$$ $$4n = 73$$ $$n = \frac{73}{4} = 18.25$$ Mais $n$ est un entier naturel, donc il n'existe pas d'entier $n$ tel que $B_n$ ait exactement 75 facteurs premiers. **Conclusion :** Il n'y a pas d'entier naturel $n$ tel que $B_n$ ait exactement 75 facteurs premiers. --- **Réponse finale :** 1. $A_0 = 97$ est premier. 2. $A_n$ divise $B_n$ pour tout $n$. 3a. $B_n = 97^2 \cdot 2^{2n} \cdot 3^{2n}$. 3b. Il n'existe pas d'entier naturel $n$ tel que $B_n$ ait exactement 75 facteurs premiers.