1. **Énoncé du problème :** Soit $n$ un entier naturel, on pose $A_n = 97 \cdot 6^n$ et $B_n = 9409 \cdot 6^{2n}$. 2. **Question 1 : Le nombre $A_0$ est-il premier ? Justifier.** - Calculons $A_0$ : $$A_0 = 97 \cdot 6^0 = 97 \cdot 1 = 97$$ - 97 est un nombre premier connu (il n'a pas de diviseurs autres que 1 et lui-même). **Réponse :** Oui, $A_0 = 97$ est un nombre premier. 3. **Question 2 : Justifier que $A_n$ divise $B_n$ pour tout entier naturel $n$.** - On a : $$A_n = 97 \cdot 6^n$$ $$B_n = 9409 \cdot 6^{2n}$$ - Or, $9409 = 97^2$ car $97^2 = 9409$. - Donc : $$B_n = 97^2 \cdot 6^{2n} = 97 \cdot 6^n \cdot 97 \cdot 6^n = A_n \cdot (97 \cdot 6^n)$$ - Ainsi, $A_n$ divise $B_n$ car $B_n = A_n \times (97 \cdot 6^n)$. 4. **Question 3a : Écrire $B_n$ en produit de facteurs premiers.** - Décomposons les facteurs premiers : - $97$ est premier. - $6 = 2 \times 3$. - Donc : $$B_n = 97^2 \cdot (2 \times 3)^{2n} = 97^2 \cdot 2^{2n} \cdot 3^{2n}$$ 5. **Question 3b : Trouver $n$ pour que $B_n$ admette 75 facteurs premiers.** - Le nombre total de facteurs premiers (avec multiplicité) est la somme des exposants dans la décomposition. - Exposants dans $B_n$ : - $97$ a un exposant $2$ - $2$ a un exposant $2n$ - $3$ a un exposant $2n$ - Total des facteurs premiers : $$2 + 2n + 2n = 2 + 4n$$ - On veut : $$2 + 4n = 75$$ - Résolvons pour $n$ : $$4n = 75 - 2 = 73$$ $$n = \frac{73}{4} = 18.25$$ - Comme $n$ est un entier naturel, il n'existe pas d'entier $n$ tel que $B_n$ ait exactement 75 facteurs premiers. **Conclusion :** - $n$ doit être un entier naturel. - Le nombre total de facteurs premiers est toujours $2 + 4n$. - Pour $n=18$, on a $2 + 4 \times 18 = 74$ facteurs premiers. - Pour $n=19$, on a $2 + 4 \times 19 = 78$ facteurs premiers. - Donc, il n'y a pas de $n$ entier naturel pour lequel $B_n$ a exactement 75 facteurs premiers. **Résumé final :** - $A_0 = 97$ est premier. - $A_n$ divise $B_n$ pour tout $n$. - $B_n = 97^2 \cdot 2^{2n} \cdot 3^{2n}$. - Il n'existe pas d'entier naturel $n$ tel que $B_n$ ait exactement 75 facteurs premiers.