1. El problema consiste en simplificar la expresión algebraica dada: $$\frac{27x^3 - 8}{x^2 - 16} \div \frac{3x^3 - 5x^2 - 12x + 20}{x^2 - 4} - \frac{x - 2}{x + 4}$$ 2. Para dividir fracciones algebraicas, recordamos que dividir es multiplicar por el recíproco: $$\frac{A}{B} \div \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \times \frac{D}{C}$$ 3. Aplicamos esta regla a la expresión: $$\frac{27x^3 - 8}{x^2 - 16} \times \frac{x^2 - 4}{3x^3 - 5x^2 - 12x + 20} - \frac{x - 2}{x + 4}$$ 4. Factorizamos cada polinomio para simplificar: - $27x^3 - 8$ es una diferencia de cubos: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ con $a=3x$, $b=2$. $$27x^3 - 8 = (3x - 2)(9x^2 + 6x + 4)$$ - $x^2 - 16$ es diferencia de cuadrados: $$x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)$$ - $x^2 - 4$ también es diferencia de cuadrados: $$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$$ - Factorizamos $3x^3 - 5x^2 - 12x + 20$ por agrupación: $$3x^3 - 5x^2 - 12x + 20 = (3x^3 - 5x^2) - (12x - 20) = x^2(3x - 5) - 4(3x - 5) = (x^2 - 4)(3x - 5)$$ 5. Sustituimos las factorizaciones en la expresión: $$\frac{(3x - 2)(9x^2 + 6x + 4)}{(x - 4)(x + 4)} \times \frac{(x - 2)(x + 2)}{(x^2 - 4)(3x - 5)} - \frac{x - 2}{x + 4}$$ 6. Observamos que $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$, entonces: $$\frac{(3x - 2)(9x^2 + 6x + 4)}{(x - 4)(x + 4)} \times \frac{(x - 2)(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)(3x - 5)} - \frac{x - 2}{x + 4}$$ 7. Cancelamos factores comunes en la multiplicación: $$\frac{(3x - 2)(9x^2 + 6x + 4)}{(x - 4)(x + 4)} \times \frac{\cancel{(x - 2)}\cancel{(x + 2)}}{\cancel{(x - 2)}\cancel{(x + 2)}(3x - 5)} = \frac{(3x - 2)(9x^2 + 6x + 4)}{(x - 4)(x + 4)} \times \frac{1}{3x - 5}$$ 8. Multiplicamos numeradores y denominadores: $$\frac{(3x - 2)(9x^2 + 6x + 4)}{(x - 4)(x + 4)(3x - 5)}$$ 9. La expresión completa es ahora: $$\frac{(3x - 2)(9x^2 + 6x + 4)}{(x - 4)(x + 4)(3x - 5)} - \frac{x - 2}{x + 4}$$ 10. Para restar, buscamos común denominador: El denominador común es $(x - 4)(x + 4)(3x - 5)$. 11. Reescribimos la segunda fracción con el denominador común: $$\frac{x - 2}{x + 4} = \frac{(x - 2)(x - 4)(3x - 5)}{(x + 4)(x - 4)(3x - 5)}$$ 12. Ahora la resta es: $$\frac{(3x - 2)(9x^2 + 6x + 4) - (x - 2)(x - 4)(3x - 5)}{(x - 4)(x + 4)(3x - 5)}$$ 13. Expandimos los términos del numerador: - Primero expandimos $(3x - 2)(9x^2 + 6x + 4)$: $$3x \times 9x^2 = 27x^3$$ $$3x \times 6x = 18x^2$$ $$3x \times 4 = 12x$$ $$-2 \times 9x^2 = -18x^2$$ $$-2 \times 6x = -12x$$ $$-2 \times 4 = -8$$ Sumando: $$27x^3 + (18x^2 - 18x^2) + (12x - 12x) - 8 = 27x^3 - 8$$ - Luego expandimos $(x - 2)(x - 4)(3x - 5)$: Primero $(x - 2)(x - 4) = x^2 - 6x + 8$ Luego multiplicamos por $(3x - 5)$: $$x^2 \times 3x = 3x^3$$ $$x^2 \times (-5) = -5x^2$$ $$-6x \times 3x = -18x^2$$ $$-6x \times (-5) = 30x$$ $$8 \times 3x = 24x$$ $$8 \times (-5) = -40$$ Sumando: $$3x^3 + (-5x^2 - 18x^2) + (30x + 24x) - 40 = 3x^3 - 23x^2 + 54x - 40$$ 14. El numerador queda: $$27x^3 - 8 - (3x^3 - 23x^2 + 54x - 40) = 27x^3 - 8 - 3x^3 + 23x^2 - 54x + 40$$ Simplificando: $$ (27x^3 - 3x^3) + 23x^2 + (-54x) + (-8 + 40) = 24x^3 + 23x^2 - 54x + 32$$ 15. La expresión final simplificada es: $$\frac{24x^3 + 23x^2 - 54x + 32}{(x - 4)(x + 4)(3x - 5)}$$ Este es el resultado simplificado de la expresión original. 16. La referencia base utilizada para este problema es la regla de división de fracciones algebraicas y factorización de polinomios, incluyendo diferencia de cuadrados y diferencia de cubos.