1. **Planteamiento del problema:** Dividir el polinomio $x^{2} - 4x - 15 + 18$ entre el binomio $x - 6$. 2. **Simplificación inicial:** Primero simplificamos el polinomio en el numerador: $$x^{2} - 4x - 15 + 18 = x^{2} - 4x + 3$$ 3. **División de polinomios:** Usamos la división larga para dividir $x^{2} - 4x + 3$ entre $x - 6$. 4. **Primer paso:** Dividimos el término líder $x^{2}$ entre $x$: $$\frac{x^{2}}{x} = x$$ Multiplicamos $x$ por el divisor: $$x(x - 6) = x^{2} - 6x$$ Restamos: $$\left(x^{2} - 4x + 3\right) - \left(x^{2} - 6x\right) = (x^{2} - x^{2}) + (-4x + 6x) + 3 = 2x + 3$$ 5. **Segundo paso:** Dividimos el nuevo término líder $2x$ entre $x$: $$\frac{2x}{x} = 2$$ Multiplicamos $2$ por el divisor: $$2(x - 6) = 2x - 12$$ Restamos: $$\left(2x + 3\right) - \left(2x - 12\right) = (2x - 2x) + (3 + 12) = 15$$ 6. **Resultado:** El cociente es $x + 2$ y el residuo es $15$, por lo que: $$\frac{x^{2} - 4x + 3}{x - 6} = x + 2 + \frac{15}{x - 6}$$ 7. **Explicación:** La división de polinomios consiste en dividir término a término, multiplicar y restar para encontrar el cociente y residuo. Aquí, el residuo es un número constante, lo que indica que el divisor no divide exactamente al polinomio original. **Respuesta final:** $$\boxed{x + 2 + \frac{15}{x - 6}}$$