1. **Planteamiento del problema:** Dividir el polinomio $$x^6 - 3x^4 + 2x^5 + 6x - 8$$ entre el binomio $$x - 3$$. 2. **Ordenar el polinomio dividendo:** Para facilitar la división, ordenamos los términos de mayor a menor grado: $$x^6 + 2x^5 - 3x^4 + 6x - 8$$ 3. **Fórmula y regla:** Usaremos la división sintética o larga de polinomios. La división larga consiste en dividir el término de mayor grado del dividendo entre el término de mayor grado del divisor, multiplicar el divisor por ese cociente, restar y bajar el siguiente término. 4. **División paso a paso:** - Dividimos $$x^6$$ entre $$x$$: $$x^5$$. - Multiplicamos $$x^5(x - 3) = x^6 - 3x^5$$. - Restamos: $$\left(x^6 + 2x^5\right) - \left(x^6 - 3x^5\right) = \cancel{x^6} + 2x^5 - \cancel{x^6} + 3x^5 = 5x^5$$. - Bajamos $$-3x^4$$, queda $$5x^5 - 3x^4$$. - Dividimos $$5x^5$$ entre $$x$$: $$5x^4$$. - Multiplicamos $$5x^4(x - 3) = 5x^5 - 15x^4$$. - Restamos: $$\left(5x^5 - 3x^4\right) - \left(5x^5 - 15x^4\right) = \cancel{5x^5} - 3x^4 - \cancel{5x^5} + 15x^4 = 12x^4$$. - Bajamos $$+6x$$, queda $$12x^4 + 6x$$. - Dividimos $$12x^4$$ entre $$x$$: $$12x^3$$. - Multiplicamos $$12x^3(x - 3) = 12x^4 - 36x^3$$. - Restamos: $$\left(12x^4 + 6x\right) - \left(12x^4 - 36x^3\right) = \cancel{12x^4} + 6x - \cancel{12x^4} + 36x^3 = 36x^3 + 6x$$. - Bajamos el siguiente término que no existe, así que seguimos con $$36x^3 + 6x$$. - Dividimos $$36x^3$$ entre $$x$$: $$36x^2$$. - Multiplicamos $$36x^2(x - 3) = 36x^3 - 108x^2$$. - Restamos: $$\left(36x^3 + 6x\right) - \left(36x^3 - 108x^2\right) = \cancel{36x^3} + 6x - \cancel{36x^3} + 108x^2 = 108x^2 + 6x$$. - Bajamos el siguiente término que no existe, queda $$108x^2 + 6x$$. - Dividimos $$108x^2$$ entre $$x$$: $$108x$$. - Multiplicamos $$108x(x - 3) = 108x^2 - 324x$$. - Restamos: $$\left(108x^2 + 6x\right) - \left(108x^2 - 324x\right) = \cancel{108x^2} + 6x - \cancel{108x^2} + 324x = 330x$$. - Bajamos $$-8$$, queda $$330x - 8$$. - Dividimos $$330x$$ entre $$x$$: $$330$$. - Multiplicamos $$330(x - 3) = 330x - 990$$. - Restamos: $$\left(330x - 8\right) - \left(330x - 990\right) = \cancel{330x} - 8 - \cancel{330x} + 990 = 982$$. 5. **Resultado:** El cociente es $$x^5 + 5x^4 + 12x^3 + 36x^2 + 108x + 330$$ y el residuo es $$982$$. 6. **Expresión final:** $$\frac{x^6 - 3x^4 + 2x^5 + 6x - 8}{x - 3} = x^5 + 5x^4 + 12x^3 + 36x^2 + 108x + 330 + \frac{982}{x - 3}$$.