1. Planteamos el problema: Dividir el polinomio $$P(x) = 5x^4 - 13x^3 + 2x - 1$$ entre el polinomio $$Q(x) = x^2 - 2x + 1$$. 2. Recordemos que para dividir polinomios usamos la división larga, similar a la división de números, buscando un cociente y un resto tal que $$P(x) = Q(x) \cdot \text{cociente} + \text{resto}$$, donde el grado del resto es menor que el grado de $$Q(x)$$. 3. Comenzamos dividiendo el término de mayor grado de $$P(x)$$ entre el término de mayor grado de $$Q(x)$$: $$\frac{5x^4}{x^2} = 5x^2$$ 4. Multiplicamos $$5x^2$$ por $$Q(x)$$: $$5x^2(x^2 - 2x + 1) = 5x^4 - 10x^3 + 5x^2$$ 5. Restamos este resultado de $$P(x)$$: $$\begin{aligned} & (5x^4 - 13x^3 + 2x - 1) - (5x^4 - 10x^3 + 5x^2) \\ &= 5x^4 - 13x^3 + 2x - 1 - 5x^4 + 10x^3 - 5x^2 \\ &= \cancel{5x^4} - 13x^3 + 2x - 1 - \cancel{5x^4} + 10x^3 - 5x^2 \\ &= (-13x^3 + 10x^3) - 5x^2 + 2x - 1 = -3x^3 - 5x^2 + 2x - 1 \end{aligned}$$ 6. Repetimos el proceso con el nuevo polinomio $$-3x^3 - 5x^2 + 2x - 1$$: Dividimos $$-3x^3$$ entre $$x^2$$: $$\frac{-3x^3}{x^2} = -3x$$ 7. Multiplicamos $$-3x$$ por $$Q(x)$$: $$-3x(x^2 - 2x + 1) = -3x^3 + 6x^2 - 3x$$ 8. Restamos: $$\begin{aligned} & (-3x^3 - 5x^2 + 2x - 1) - (-3x^3 + 6x^2 - 3x) \\ &= -3x^3 - 5x^2 + 2x - 1 + 3x^3 - 6x^2 + 3x \\ &= \cancel{-3x^3} - 5x^2 + 2x - 1 + \cancel{3x^3} - 6x^2 + 3x \\ &= (-5x^2 - 6x^2) + (2x + 3x) - 1 = -11x^2 + 5x - 1 \end{aligned}$$ 9. Dividimos $$-11x^2$$ entre $$x^2$$: $$\frac{-11x^2}{x^2} = -11$$ 10. Multiplicamos $$-11$$ por $$Q(x)$$: $$-11(x^2 - 2x + 1) = -11x^2 + 22x - 11$$ 11. Restamos: $$\begin{aligned} & (-11x^2 + 5x - 1) - (-11x^2 + 22x - 11) \\ &= -11x^2 + 5x - 1 + 11x^2 - 22x + 11 \\ &= \cancel{-11x^2} + 5x - 1 + \cancel{11x^2} - 22x + 11 \\ &= (5x - 22x) + (-1 + 11) = -17x + 10 \end{aligned}$$ 12. El grado del resto $$-17x + 10$$ es 1, que es menor que el grado de $$Q(x)$$ que es 2, por lo que la división termina aquí. 13. Por lo tanto, el cociente es $$5x^2 - 3x - 11$$ y el resto es $$-17x + 10$$. 14. Verificación: $$P(x) = Q(x) \cdot (5x^2 - 3x - 11) + (-17x + 10)$$ Respuesta final: Cociente: $$5x^2 - 3x - 11$$ Resto: $$-17x + 10$$