1. Planteamos el problema: dividir el polinomio $$4x^4 - 3 + 6x^2 - 852$$ entre el binomio $$x - 4$$. 2. Ordenamos el polinomio dividendos por grados descendentes y completamos términos faltantes: $$4x^4 + 0x^3 + 6x^2 + 0x - 855$$ (ya que $$-3 - 852 = -855$$). 3. Usamos división larga de polinomios. Dividimos el término líder del dividendo $$4x^4$$ entre el término líder del divisor $$x$$: $$\frac{4x^4}{x} = 4x^3$$ 4. Multiplicamos $$4x^3$$ por el divisor $$x - 4$$: $$4x^3 \cdot (x - 4) = 4x^4 - 16x^3$$ 5. Restamos este resultado del dividendo: $$\left(4x^4 + 0x^3 + 6x^2 + 0x - 855\right) - \left(4x^4 - 16x^3\right) = 0x^4 + 16x^3 + 6x^2 + 0x - 855$$ 6. Repetimos el proceso con el nuevo polinomio: Dividimos $$16x^3$$ entre $$x$$: $$\frac{16x^3}{x} = 16x^2$$ Multiplicamos $$16x^2$$ por $$x - 4$$: $$16x^2 \cdot (x - 4) = 16x^3 - 64x^2$$ Restamos: $$\left(16x^3 + 6x^2 + 0x - 855\right) - \left(16x^3 - 64x^2\right) = 0x^3 + 70x^2 + 0x - 855$$ 7. Dividimos $$70x^2$$ entre $$x$$: $$\frac{70x^2}{x} = 70x$$ Multiplicamos $$70x$$ por $$x - 4$$: $$70x \cdot (x - 4) = 70x^2 - 280x$$ Restamos: $$\left(70x^2 + 0x - 855\right) - \left(70x^2 - 280x\right) = 0x^2 + 280x - 855$$ 8. Dividimos $$280x$$ entre $$x$$: $$\frac{280x}{x} = 280$$ Multiplicamos $$280$$ por $$x - 4$$: $$280 \cdot (x - 4) = 280x - 1120$$ Restamos: $$\left(280x - 855\right) - \left(280x - 1120\right) = 0x + 265$$ 9. El residuo es $$265$$, que es de grado menor que el divisor $$x - 4$$, por lo que la división termina. 10. La respuesta es el cociente más el residuo sobre el divisor: $$4x^3 + 16x^2 + 70x + 280 + \frac{265}{x - 4}$$