1. Problema afirmă că pentru orice număr natural $n$, expresia $n^3 - n$ este divizibilă cu 3, adică $3 \mid n^3 - n$. 2. Se observă că $n^3 - n = n(n^2 - 1) = n(n-1)(n+1)$, adică produsul a trei numere consecutive. 3. Deoarece în orice grup de trei numere consecutive există un multiplu de 3, rezultă că $3 \mid n(n-1)(n+1)$, deci $3 \mid n^3 - n$. 4. Demonstrația prin inducție: I. Verificarea pentru $n=0$: $0^3 - 0 = 0$, iar $3 \mid 0$ este adevărat. II. Presupunem că pentru un $k$ oarecare, $3 \mid k^3 - k$. III. Trebuie să demonstrăm că $3 \mid (k+1)^3 - (k+1)$. 5. Calculăm: $$(k+1)^3 - (k+1) = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 - k - 1 = k^3 + 3k^2 + 2k$$ 6. Rescriem: $$k^3 + 3k^2 + 2k = k^3 + k^2 + 2k^2 + 2k = k^2(k+1) + 2k(k+1) = (k^2 + 2k)(k+1)$$ 7. Din ipoteza de inducție știm că $3 \mid k^3 - k = k(k-1)(k+1)$, deci $3 \mid k(k+1)(k-1)$. 8. Deoarece $3$ divide produsul a trei numere consecutive, și $(k+1)$ este unul dintre ele, rezultă că $3 \mid (k+1)^3 - (k+1)$. 9. Astfel, prin inducție matematică, am demonstrat că pentru orice $n \in \mathbb{N}$, $3 \mid n^3 - n$. Răspuns final: Da, demonstrația este corectă și completă.