1. نبدأ ببيان المسألة: لدينا الدالة $$f(x) = \sqrt{x^2 - 3x + 9}$$ ونريد تحديد مجالها. 2. القاعدة الأساسية: الجذر التربيعي يتطلب أن يكون التعبير داخل الجذر $\geq 0$ لكي تكون الدالة معرفة. 3. نكتب الشرط: $$x^2 - 3x + 9 \geq 0$$ 4. نحلل المعادلة التربيعية داخل الجذر: نحسب المميز: $$\Delta = (-3)^2 - 4 \times 1 \times 9 = 9 - 36 = -27$$ 5. بما أن المميز $\Delta < 0$، فإن المعادلة التربيعية لا تقطع محور $x$ ولا توجد جذور حقيقية. 6. لأن معامل $x^2$ موجب (1)، فإن التعبير $x^2 - 3x + 9$ موجب دائمًا لأي قيمة $x$. 7. إذن، التعبير داخل الجذر $\geq 0$ لجميع $x \in \mathbb{R}$. 8. بالتالي، مجال الدالة هو جميع الأعداد الحقيقية: $$\boxed{(-\infty, +\infty)}$$