1. **Déterminer le domaine de définition de la fonction** $f(x) = \frac{2x^2 - x - 1}{x+2}$. Le domaine est l'ensemble des $x$ pour lesquels le dénominateur n'est pas nul. 2. **Calcul du domaine de $f$ :** Le dénominateur $x+2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2$. Donc, le domaine de $f$ est $\mathbb{R} \setminus \{-2\}$. --- 1. **Déterminer le domaine de définition de la fonction** $g(x) = \frac{x^2 - 4}{x^3 - 6x - 4}$. Le dénominateur ne doit pas être nul : $x^3 - 6x - 4 \neq 0$. 2. **Trouvons les racines du dénominateur :** Cherchons les racines de $x^3 - 6x - 4 = 0$. Testons $x=2$ : $2^3 - 6\times 2 - 4 = 8 - 12 - 4 = -8 \neq 0$. Testons $x=-2$ : $(-2)^3 - 6(-2) - 4 = -8 + 12 - 4 = 0$. Donc $x=-2$ est une racine. Divisons par $(x+2)$ : $$x^3 - 6x - 4 = (x+2)(x^2 - 2x - 2)$$ Les racines de $x^2 - 2x - 2 = 0$ sont : $$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$$ Donc, le dénominateur est nul en $x = -2, 1 - \sqrt{3}, 1 + \sqrt{3}$. 3. **Domaine de $g$ :** $\mathbb{R} \setminus \{-2, 1 - \sqrt{3}, 1 + \sqrt{3}\}$. --- 1. **Déterminer le domaine de définition de** $h(x) = \sqrt{\frac{x-3}{-x^2 + 1}}$. 2. **Conditions :** - Le radicande doit être $\geq 0$ : $\frac{x-3}{-x^2 + 1} \geq 0$. - Le dénominateur $-x^2 + 1 = 1 - x^2 \neq 0$. 3. **Étudions le signe de $\frac{x-3}{1 - x^2}$ :** - Zéros du numérateur : $x=3$. - Zéros du dénominateur : $x=\pm 1$. 4. **Tableau de signes :** - Pour $x < -1$, $x-3 < 0$, $1 - x^2 < 0$ donc fraction positive. - Pour $-1 < x < 1$, $x-3 < 0$, $1 - x^2 > 0$ donc fraction négative. - Pour $1 < x < 3$, $x-3 < 0$, $1 - x^2 < 0$ donc fraction positive. - Pour $x > 3$, $x-3 > 0$, $1 - x^2 < 0$ donc fraction négative. 5. **Domaines où la fraction est $\geq 0$ :** $(-\infty, -1) \cup (1, 3]$. 6. **Exclure points où dénominateur nul :** $x = \pm 1$ exclus. 7. **Domaine de $h$ :** $(-\infty, -1) \cup (1, 3]$. --- 1. **Déterminer le domaine de** $h(x) = \ln(\sqrt{1 + x^2} - x)$. 2. **Condition pour le logarithme :** Argument $> 0$ : $\sqrt{1 + x^2} - x > 0$. 3. **Étudions $\sqrt{1 + x^2} - x$ :** - Pour $x \geq 0$, $\sqrt{1 + x^2} \geq x$, donc $\sqrt{1 + x^2} - x \geq 0$. - Pour $x < 0$, $\sqrt{1 + x^2} > 0$ et $-x > 0$, donc $\sqrt{1 + x^2} - x > 0$. 4. **En fait, $\sqrt{1 + x^2} - x > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.** 5. **Domaine de $h$ est $\mathbb{R}$.** --- **Réponse finale pour la question 1 :** - $D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2\}$ - $D_g = \mathbb{R} \setminus \{-2, 1 - \sqrt{3}, 1 + \sqrt{3}\}$ - $D_h = (-\infty, -1) \cup (1, 3]$ - $D_{h,\ln} = \mathbb{R}$ --- **q_count**: 6