1. مسئله: تابع $$f(x) = \frac{\sqrt{1 - x^7}}{x - \frac{1}{2}[\sqrt{2x}]}$$ را داریم. می‌خواهیم دامنه تابع را پیدا کنیم و نقاط $$m$$ و $$n$$ را که به ترتیب دارای همسایگی محذوف و همسایگی یک طرفه هستند، مشخص کنیم. سپس حاصل $$m \times n$$ را بررسی کنیم که کدام مقدار نمی‌تواند باشد. 2. ابتدا دامنه تابع را بررسی می‌کنیم: - زیر رادیکال باید غیرمنفی باشد: $$1 - x^7 \geq 0 \Rightarrow x^7 \leq 1$$ که برای $$x \leq 1$$ برقرار است. - مخرج نباید صفر شود: $$x - \frac{1}{2}[\sqrt{2x}] \neq 0$$. 3. شرط مخرج صفر: $$x - \frac{1}{2}[\sqrt{2x}] = 0 \Rightarrow [\sqrt{2x}] = 2x$$. 4. چون $$[\sqrt{2x}]$$ عدد صحیح است و $$\sqrt{2x} \geq 0$$، پس $$x \geq 0$$. 5. بررسی مقادیر صحیح ممکن برای $$[\sqrt{2x}]$$: - اگر $$[\sqrt{2x}] = k$$ باشد، آنگاه $$k \leq \sqrt{2x} < k+1$$. 6. معادله $$k = 2x$$ را داریم. پس $$x = \frac{k}{2}$$. 7. شرط $$k \leq \sqrt{2x} < k+1$$ را با جایگذاری $$x = \frac{k}{2}$$ بررسی می‌کنیم: $$k \leq \sqrt{2 \times \frac{k}{2}} = \sqrt{k} < k+1$$. 8. نامساوی اول: $$k \leq \sqrt{k}$$ فقط برای $$k=0$$ یا $$k=1$$ ممکن است (چون برای $$k>1$$، $$k > \sqrt{k}$$). 9. بررسی برای $$k=0$$: - $$x = 0$$ - مخرج: $$0 - \frac{1}{2} \times 0 = 0$$، پس مخرج صفر است و نقطه حذف شده است. 10. بررسی برای $$k=1$$: - $$x = \frac{1}{2}$$ - مخرج: $$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \times 1 = 0$$، مخرج صفر است و نقطه حذف شده است. 11. بنابراین نقاط $$m$$ و $$n$$ که مخرج صفر است، $$m=0$$ و $$n=\frac{1}{2}$$ هستند. 12. نکته: در $$m=0$$ همسایگی محذوف داریم چون ریشه و مخرج صفر است. 13. در $$n=\frac{1}{2}$$ همسایگی یک طرفه داریم چون مخرج صفر است ولی ریشه در آن نقطه تعریف شده است. 14. حال حاصل $$m \times n = 0 \times \frac{1}{2} = 0$$ است. 15. گزینه‌هایی که نمی‌توانند حاصل $$m \times n$$ باشند: - گزینه 2) صفر ممکن است. - گزینه 1) $$\frac{1}{2}$$ نمی‌تواند باشد. - گزینه 3) 1 نمی‌تواند باشد. - گزینه 4) $$\frac{-1}{2}$$ نمی‌تواند باشد. 16. پاسخ نهایی: مقدار $$\frac{1}{2}$$ نمی‌تواند حاصل $$m \times n$$ باشد.