1. **بيان المسألة:** لدينا الدالتين $f$ و $g$ معرفتين كما يلي: $$f(x) = x^2 - 4$$ $$g(x) = \frac{4}{x^2 + 2}$$ نريد: - تحديد مجال الدالتين $D_f$ و $D_g$. - حساب قيم $f(0)$، $f(1)$، $g(0)$، و $g(1)$. - استنتاج قيم $f(-1)$ و $g(-1)$. - إثبات أن $\forall x \in D_f: f(x) \geq -4$ و $\forall x \in D_g: g(x) \leq 2$. 2. **تحديد المجال:** - $f(x) = x^2 - 4$ هي دالة كثيرة حدود، ومجالها هو جميع الأعداد الحقيقية، إذن: $$D_f = \mathbb{R}$$ - $g(x) = \frac{4}{x^2 + 2}$، المقام $x^2 + 2$ لا يساوي صفر لأي $x$ لأن $x^2 \geq 0$ و $x^2 + 2 \geq 2 > 0$ دائماً، إذن: $$D_g = \mathbb{R}$$ 3. **حساب القيم:** - $f(0) = 0^2 - 4 = -4$ - $f(1) = 1^2 - 4 = 1 - 4 = -3$ - $g(0) = \frac{4}{0^2 + 2} = \frac{4}{2} = 2$ - $g(1) = \frac{4}{1^2 + 2} = \frac{4}{3} \approx 1.333$ 4. **استنتاج القيم عند $-1$:** - $f(-1) = (-1)^2 - 4 = 1 - 4 = -3$ - $g(-1) = \frac{4}{(-1)^2 + 2} = \frac{4}{1 + 2} = \frac{4}{3} \approx 1.333$ 5. **إثبات المتباينات:** - لأن $f(x) = x^2 - 4$ و $x^2 \geq 0$ دائماً، فإن: $$f(x) = x^2 - 4 \geq 0 - 4 = -4$$ - بالنسبة لـ $g(x) = \frac{4}{x^2 + 2}$، لأن $x^2 + 2 \geq 2$، فإن: $$g(x) = \frac{4}{x^2 + 2} \leq \frac{4}{2} = 2$$ **النتائج النهائية:** - $D_f = \mathbb{R}$ - $D_g = \mathbb{R}$ - $f(0) = -4$, $f(1) = -3$ - $g(0) = 2$, $g(1) = \frac{4}{3}$ - $f(-1) = -3$, $g(-1) = \frac{4}{3}$ - $\forall x \in D_f: f(x) \geq -4$ - $\forall x \in D_g: g(x) \leq 2$