1. **Énoncé du problème** : Déterminer le domaine et les zéros des fonctions $$h(x) = \sqrt{4x - x^2}$$ et $$m(x) = \frac{8x^2 - 5x - 3}{x^2 - 7x + 6} = \frac{(x - 1)(8x + 3)}{(x - 6)(x - 1)}$$ 2. **Domaine de $h(x)$** : La racine carrée est définie pour les valeurs où l'expression sous la racine est positive ou nulle : $$4x - x^2 \geq 0$$ On peut réécrire : $$-x^2 + 4x \geq 0$$ ou $$x^2 - 4x \leq 0$$ Factorisons : $$x(x - 4) \leq 0$$ 3. **Étude du signe** : Le produit $x(x-4)$ est négatif ou nul entre les racines $0$ et $4$ : $$\boxed{\text{Domaine de } h = [0,4]}$$ 4. **Zéros de $h(x)$** : Les zéros sont les valeurs où $h(x) = 0$, donc où l'expression sous la racine est nulle : $$4x - x^2 = 0$$ Factorisation : $$x(4 - x) = 0$$ Donc $$x = 0 \quad \text{ou} \quad x = 4$$ 5. **Domaine de $m(x)$** : Le dénominateur ne doit pas être nul : $$x^2 - 7x + 6 \neq 0$$ Factorisation : $$ (x - 6)(x - 1) \neq 0$$ Donc $$x \neq 1 \quad \text{et} \quad x \neq 6$$ 6. **Simplification de $m(x)$** : On a $$m(x) = \frac{(x - 1)(8x + 3)}{(x - 6)(x - 1)}$$ On peut simplifier le facteur commun $x-1$ sauf en $x=1$ où la fonction est indéfinie : $$m(x) = \frac{\cancel{(x - 1)}(8x + 3)}{(x - 6)\cancel{(x - 1)}} = \frac{8x + 3}{x - 6}, \quad x \neq 1$$ 7. **Zéros de $m(x)$** : Les zéros sont les valeurs où le numérateur simplifié est nul : $$8x + 3 = 0$$ $$8x = -3$$ $$x = -\frac{3}{8}$$ 8. **Résumé final** : - Domaine de $h$ : $[0,4]$ - Zéros de $h$ : $x=0$ et $x=4$ - Domaine de $m$ : $\mathbb{R} \setminus \{1,6\}$ - Zéro de $m$ : $x = -\frac{3}{8}$