1. Énonçons le problème : Trouver le domaine de la fonction définie par morceaux $$f(x) = \begin{cases} 6x - 1 & \text{si } x \geq 6 \\ \frac{1}{x - 3} & \text{si } 3 \leq x < 6 \\ \sqrt{\frac{1}{x + 6}} & \text{si } x \leq -1 \end{cases}$$ 2. Rappelons que le domaine d'une fonction est l'ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles la fonction est définie. 3. Étudions chaque morceau séparément : - Pour $6x - 1$ avec $x \geq 6$, il n'y a aucune restriction, donc le domaine est $[6, +\infty)$. - Pour $\frac{1}{x - 3}$ avec $3 \leq x < 6$, le dénominateur ne doit pas être nul, donc $x \neq 3$. Mais la condition $x \geq 3$ inclut $3$, donc on doit exclure $x=3$ pour éviter la division par zéro. Ainsi, le domaine est $(3, 6)$. - Pour $\sqrt{\frac{1}{x + 6}}$ avec $x \leq -1$, l'expression sous la racine doit être positive ou nulle : $$\frac{1}{x + 6} \geq 0$$ Cela implique que $x + 6 > 0$ car le numérateur est positif (1). Donc : $$x + 6 > 0 \Rightarrow x > -6$$ Mais la condition initiale est $x \leq -1$, donc on prend l'intersection : $$-6 < x \leq -1$$ 4. En combinant tous les domaines : $$\text{dom } f = (-6, -1] \cup (3, 6) \cup [6, +\infty)$$ 5. Conclusion : Le domaine de $f$ est l'union des intervalles où chaque morceau est défini et respecte ses conditions.