1. **Stel het probleem vast:** We bepalen het domein en de nulwaarden van de functie $$f(x) = \frac{\sqrt{x^3 + 1}}{4x^3 + 4x^2 + x}$$. 2. **Domein bepalen:** - De noemer mag niet nul zijn: $$4x^3 + 4x^2 + x \neq 0$$. - De uitdrukking onder de wortel moet $\geq 0$: $$x^3 + 1 \geq 0$$. 3. **Los de ongelijkheden op:** - Noemer: $$4x^3 + 4x^2 + x = x(4x^2 + 4x + 1)$$. - Los $$x = 0$$ op en controleer de kwadratische factor $$4x^2 + 4x + 1$$. - De discriminant is $$\Delta = 4^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 16 - 16 = 0$$, dus één dubbele wortel bij $$x = -\frac{4}{2 \cdot 4} = -\frac{1}{2}$$. - Noemer nul bij $$x=0$$ en $$x=-\frac{1}{2}$$, dus deze punten uitsluiten. 4. **Voor de wortel:** - $$x^3 + 1 \geq 0 \Rightarrow x^3 \geq -1 \Rightarrow x \geq -1$$ (want de derde macht is strikt stijgend). 5. **Domein is dus:** $$\{x \in \mathbb{R} \mid x \geq -1, x \neq 0, x \neq -\frac{1}{2} \}$$. 6. **Nulwaarden bepalen:** - $$f(x) = 0 \Rightarrow \frac{\sqrt{x^3 + 1}}{4x^3 + 4x^2 + x} = 0$$. - Een breuk is nul als de teller nul is en de noemer niet nul. - Dus $$\sqrt{x^3 + 1} = 0 \Rightarrow x^3 + 1 = 0 \Rightarrow x^3 = -1 \Rightarrow x = -1$$. - Controleer of $$x=-1$$ in het domein ligt en noemer niet nul is: - Noemer bij $$x=-1$$: $$4(-1)^3 + 4(-1)^2 + (-1) = -4 + 4 -1 = -1 \neq 0$$, dus geldig. **Antwoord:** - Domein: $$\{x \mid x \geq -1, x \neq 0, x \neq -\frac{1}{2} \}$$. - Nulwaarde: $$x = -1$$.