1. Planteamos el problema: Determinar el dominio máximo de la función $$f(x) = \frac{\sqrt{x^3 + 4x^2 - 17x - 60}}{2x^3 + 3x^2 - 18x + 8}$$. 2. Para que la función esté definida, el radicando debe ser mayor o igual a cero y el denominador distinto de cero: $$x^3 + 4x^2 - 17x - 60 \geq 0$$ $$2x^3 + 3x^2 - 18x + 8 \neq 0$$ 3. Factorizamos el polinomio dentro del radical para analizar su signo: Probamos raíces racionales para $$x^3 + 4x^2 - 17x - 60$$ usando divisores de 60: - Para $$x=3$$: $$3^3 + 4(3)^2 - 17(3) - 60 = 27 + 36 - 51 - 60 = -48 \neq 0$$ - Para $$x=-3$$: $$(-3)^3 + 4(-3)^2 - 17(-3) - 60 = -27 + 36 + 51 - 60 = 0$$ Entonces, $$x=-3$$ es raíz. Dividimos por $$x+3$$: $$\frac{x^3 + 4x^2 - 17x - 60}{x+3} = x^2 + x - 20$$ Factorizamos el cuadrático: $$x^2 + x - 20 = (x+5)(x-4)$$ Por lo tanto: $$x^3 + 4x^2 - 17x - 60 = (x+3)(x+5)(x-4)$$ 4. Construimos la tabla de signos para $$f(x) = (x+3)(x+5)(x-4) \geq 0$$: Intervalos y signos: - Para $$x < -5$$: todos negativos, producto negativo. - Entre $$-5$$ y $$-3$$: signos $(+)(-)(-)$, producto positivo. - Entre $$-3$$ y $$4$$: signos $(+)(+)(-)$, producto negativo. - Para $$x > 4$$: todos positivos, producto positivo. Incluimos los ceros porque el radicando puede ser cero: Dominio por el radical: $$[-5,-3] \cup [4, \infty)$$ 5. Factorizamos el denominador $$2x^3 + 3x^2 - 18x + 8$$ para encontrar sus ceros: Probamos raíces racionales (divisores de 8 sobre 2): $$\pm1, \pm2, \pm4, \pm\frac{1}{2}, \pm\frac{3}{2}$$. - Para $$x=1$$: $$2(1)^3 + 3(1)^2 - 18(1) + 8 = 2 + 3 - 18 + 8 = -5 \neq 0$$ - Para $$x=2$$: $$2(8) + 3(4) - 18(2) + 8 = 16 + 12 - 36 + 8 = 0$$ Entonces, $$x=2$$ es raíz. Dividimos por $$x-2$$: $$\frac{2x^3 + 3x^2 - 18x + 8}{x-2} = 2x^2 + 7x - 4$$ Factorizamos el cuadrático: Buscamos dos números que multiplicados den $$2 \times (-4) = -8$$ y sumados den 7: 8 y -1. $$2x^2 + 7x - 4 = 2x^2 + 8x - x - 4 = 2x(x+4) -1(x+4) = (2x -1)(x+4)$$ Por lo tanto: $$2x^3 + 3x^2 - 18x + 8 = (x-2)(2x -1)(x+4)$$ 6. Encontramos los valores que anulan el denominador: $$x=2, x= -4, x= \frac{1}{2}$$ Estos valores deben excluirse del dominio. 7. Finalmente, el dominio máximo es la intersección de los valores donde el radicando es no negativo y el denominador no es cero: $$\text{Dominio} = ([-5,-3] \cup [4, \infty)) \setminus \{2, \frac{1}{2}, -4\}$$ Como $$-4$$ no está en el intervalo del radicando positivo, no afecta. $$\frac{1}{2}$$ tampoco está en los intervalos del radicando positivo. $$2$$ está en $$[4, \infty)$$? No, porque $$2 < 4$$. Por lo tanto, el dominio es: $$[-5,-3] \cup [4, \infty)$$ 8. Respuesta final: $$\boxed{\text{Dominio} = [-5,-3] \cup [4, \infty)}$$