1. Planteamos el problema: Encontrar el dominio máximo de la función $$g(x) = \frac{x^2 + 3x - 4}{5x - 12 + 2x^2} + \sqrt{\frac{-x(-x - 3)(7 + x)}{5 - x}}$$ 2. Para que la función esté definida, debemos cumplir dos condiciones: - El denominador del primer término no puede ser cero. - El radicando dentro de la raíz cuadrada debe ser mayor o igual a cero y el denominador dentro de la raíz no puede ser cero. 3. Condición 1: Denominador del primer término diferente de cero $$5x - 12 + 2x^2 \neq 0$$ Ordenamos: $$2x^2 + 5x - 12 \neq 0$$ Factorizamos: $$2x^2 + 8x - 3x - 12 = (2x^2 + 8x) - (3x + 12) = 2x(x + 4) - 3(x + 4) = (2x - 3)(x + 4) \neq 0$$ Por lo tanto: $$x \neq \frac{3}{2}, \quad x \neq -4$$ 4. Condición 2: Radicando mayor o igual a cero y denominador dentro de la raíz distinto de cero El radicando es: $$\frac{-x(-x - 3)(7 + x)}{5 - x}$$ Primero simplificamos el numerador: $$-x(-x - 3)(7 + x) = -x(x + 3)(7 + x)$$ Entonces: $$\frac{-x(x + 3)(7 + x)}{5 - x} \geq 0$$ Y además: $$5 - x \neq 0 \Rightarrow x \neq 5$$ 5. Analizamos signos para la desigualdad: Los puntos críticos son: $$x = 0, x = -3, x = -7, x = 5$$ Dividimos la recta real en intervalos y evaluamos el signo de cada factor: - Para $x < -7$: - $-x$ es positivo (porque $x$ es negativo, $-x$ positivo) - $(x + 3)$ negativo - $(7 + x)$ negativo - $(5 - x)$ positivo Producto numerador: $-x(x+3)(7+x)$ = positivo * negativo * negativo = positivo, pero hay un signo negativo delante, entonces numerador es negativo Denominador positivo Fracción negativa - Para $-7 < x < -3$: - $-x$ positivo - $(x + 3)$ negativo - $(7 + x)$ positivo Numerador: positivo * negativo * positivo = negativo, con signo negativo delante es positivo Denominador positivo Fracción positiva - Para $-3 < x < 0$: - $-x$ positivo - $(x + 3)$ positivo - $(7 + x)$ positivo Numerador: positivo * positivo * positivo = positivo, con signo negativo delante es negativo Denominador positivo Fracción negativa - Para $0 < x < 5$: - $-x$ negativo - $(x + 3)$ positivo - $(7 + x)$ positivo Numerador: negativo * positivo * positivo = negativo, con signo negativo delante es positivo Denominador positivo Fracción positiva - Para $x > 5$: - $-x$ negativo - $(x + 3)$ positivo - $(7 + x)$ positivo Numerador: negativo * positivo * positivo = negativo, con signo negativo delante es positivo Denominador negativo Fracción negativa 6. Resumen de signos para la fracción dentro de la raíz: - Negativa en $(-\infty, -7)$ - Positiva en $(-7, -3)$ - Negativa en $(-3, 0)$ - Positiva en $(0, 5)$ - Negativa en $(5, \infty)$ 7. El radicando debe ser mayor o igual a cero, por lo que: $$x \in [-7, -3] \cup [0, 5)$$ 8. Finalmente, combinamos con la condición del denominador del primer término: $$x \neq \frac{3}{2}, x \neq -4$$ Como $-4$ no está en los intervalos permitidos para la raíz, no afecta. Pero $\frac{3}{2} = 1.5$ está en $(0,5)$, por lo que debemos excluirlo. 9. Dominio máximo: $$\boxed{[-7, -3] \cup [0, \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}, 5)}$$ Esto significa que la función está definida para todos los valores de $x$ en esos intervalos, excluyendo $x=\frac{3}{2}$ y $x=5$.