1. Il problema chiede di trovare il dominio della funzione $$f(x) = \frac{x^{2} - 2x - 3}{x^{2} - 6x + 9}$$ e di mostrarne il grafico. 2. Il dominio di una funzione razionale è l'insieme di tutti i valori di $x$ per cui il denominatore è diverso da zero. 3. Troviamo i valori di $x$ che annullano il denominatore: $$x^{2} - 6x + 9 = 0$$ 4. Questa è un'equazione quadratica che possiamo risolvere con la formula: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$$ Dove $a=1$, $b=-6$, $c=9$. 5. Calcoliamo il discriminante: $$\Delta = (-6)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 - 36 = 0$$ 6. Poiché il discriminante è zero, l'equazione ha una soluzione doppia: $$x = \frac{6}{2} = 3$$ 7. Quindi il denominatore si annulla in $x=3$, che deve essere escluso dal dominio. 8. Il dominio è quindi: $$\{x \in \mathbb{R} \mid x \neq 3\}$$ 9. La funzione è definita per tutti i reali tranne $x=3$. 10. Il grafico della funzione mostra un asintoto verticale in $x=3$. Risposta finale: il dominio di $$f(x)$$ è $$\{x \in \mathbb{R} \mid x \neq 3\}$$.