1. El problema es encontrar el dominio, rango, intervalos donde la función $F(x) = -\frac{1}{2}|x+1| + \frac{1}{3}$ crece y decrece. 2. La función involucra un valor absoluto, por lo que se debe analizar en dos casos: cuando $x+1 \geq 0$ y cuando $x+1 < 0$. 3. Dominio: El valor absoluto está definido para todos los reales, por lo que el dominio es $\mathbb{R}$. 4. Para $x+1 \geq 0$ (es decir, $x \geq -1$), $F(x) = -\frac{1}{2}(x+1) + \frac{1}{3} = -\frac{1}{2}x - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = -\frac{1}{2}x - \frac{1}{6}$. 5. Para $x+1 < 0$ (es decir, $x < -1$), $F(x) = -\frac{1}{2}(-(x+1)) + \frac{1}{3} = -\frac{1}{2}(-x -1) + \frac{1}{3} = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{1}{2}x + \frac{5}{6}$. 6. Rango: La función es una "V" invertida (por el signo negativo delante del valor absoluto), con vértice en $x = -1$. 7. Evaluamos el vértice: $F(-1) = -\frac{1}{2}|-1+1| + \frac{1}{3} = -\frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$. 8. Como la función es una "V" invertida, el valor máximo es $\frac{1}{3}$ y la función decrece hacia $-\infty$ a medida que $x$ se aleja de $-1$. 9. Intervalos de crecimiento y decrecimiento: - Para $x < -1$, la función es $F(x) = \frac{1}{2}x + \frac{5}{6}$, que es lineal con pendiente positiva $\frac{1}{2}$, por lo que crece en $(-\infty, -1)$. - Para $x > -1$, la función es $F(x) = -\frac{1}{2}x - \frac{1}{6}$, que es lineal con pendiente negativa $-\frac{1}{2}$, por lo que decrece en $(-1, \infty)$. Respuesta final: - Dominio: $\mathbb{R}$ - Rango: $\left(-\infty, \frac{1}{3}\right]$ - Crece en $(-\infty, -1)$ - Decrece en $(-1, \infty)$