1. **Problema:** Determinare dominio, segno, limiti agli estremi del dominio e asintoti della funzione $$f(x) = \frac{1 - x^3}{4x^2 - 1}$$. 2. **Dominio:** Il denominatore non può essere zero, quindi risolviamo $$4x^2 - 1 \neq 0 \Rightarrow 4x^2 \neq 1 \Rightarrow x^2 \neq \frac{1}{4} \Rightarrow x \neq \pm \frac{1}{2}$$. Il dominio è quindi $$\mathbb{R} \setminus \left\{ -\frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right\}$$. 3. **Segno:** Studiamo il segno di numeratore e denominatore. - Numeratore: $$1 - x^3$$ cambia segno in $$x = 1$$. - Denominatore: $$4x^2 - 1 = (2x - 1)(2x + 1)$$ cambia segno in $$x = \pm \frac{1}{2}$$. Dividiamo la retta reale in intervalli: - $$(-\infty, -\frac{1}{2})$$ - $$(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$$ - $$(\frac{1}{2}, 1)$$ - $$(1, +\infty)$$ Calcoliamo segno numeratore e denominatore in ogni intervallo: - Per $$x < -\frac{1}{2}$$: numeratore $$1 - x^3 > 0$$ (perché $$x^3$$ è negativo grande), denominatore $$4x^2 - 1 > 0$$ (perché $$x^2 > \frac{1}{4}$$), quindi $$f(x) > 0$$. - Per $$-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$$: numeratore $$1 - x^3 > 0$$ (perché $$x^3$$ piccolo), denominatore $$4x^2 - 1 < 0$$, quindi $$f(x) < 0$$. - Per $$\frac{1}{2} < x < 1$$: numeratore $$1 - x^3 > 0$$ (perché $$x^3 < 1$$), denominatore $$4x^2 - 1 > 0$$, quindi $$f(x) > 0$$. - Per $$x > 1$$: numeratore $$1 - x^3 < 0$$, denominatore $$4x^2 - 1 > 0$$, quindi $$f(x) < 0$$. 4. **Limiti agli estremi del dominio:** - $$\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{1 - x^3}{4x^2 - 1}$$. Dominano i termini di grado più alto: $$\frac{-x^3}{4x^2} = -\frac{x^3}{4x^2} = -\frac{x}{4}$$ che tende a $$-\infty$$ per $$x \to +\infty$$ e a $$+\infty$$ per $$x \to -\infty$$. - Limiti vicino ai punti esclusi dal dominio: - $$\lim_{x \to \frac{1}{2}^-} f(x) = \pm \infty$$ (studiare segno vicino a $$\frac{1}{2}$$) - $$\lim_{x \to \frac{1}{2}^+} f(x) = \pm \infty$$ - $$\lim_{x \to -\frac{1}{2}^-} f(x) = \pm \infty$$ - $$\lim_{x \to -\frac{1}{2}^+} f(x) = \pm \infty$$ 5. **Asintoti verticali:** Ci sono in $$x = \pm \frac{1}{2}$$ perché il denominatore si annulla e il numeratore no. 6. **Asintoto orizzontale o obliquo:** Poiché il grado del numeratore (3) è maggiore di quello del denominatore (2), non c'è asintoto orizzontale, ma potrebbe esserci un asintoto obliquo. Calcoliamo il quoziente della divisione polinomiale: $$\frac{1 - x^3}{4x^2 - 1} = -\frac{1}{4}x + \text{termine di grado inferiore}$$ Quindi l'asintoto obliquo è: $$y = -\frac{1}{4}x$$. **Risposta finale:** - Dominio: $$\mathbb{R} \setminus \left\{ -\frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right\}$$ - Segno: positivo in $$(-\infty, -\frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, 1)$$, negativo in $$(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) \cup (1, +\infty)$$ - Asintoti verticali in $$x = \pm \frac{1}{2}$$ - Asintoto obliquo $$y = -\frac{1}{4}x$$ - Limiti: - $$\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \mp \infty$$ - $$\lim_{x \to \pm \frac{1}{2}^\\pm} f(x) = \pm \infty$$ (a seconda del lato)