1. Problema: Studiare le funzioni razionali date, trovando il dominio e l'eventuale simmetria. 2. Formula e regole importanti: - Il dominio di una funzione razionale è l'insieme dei valori di $x$ per cui il denominatore \textbf{non è zero}. - Una funzione è pari se $f(-x) = f(x)$ (simmetria rispetto all'asse y). - Una funzione è dispari se $f(-x) = -f(x)$ (simmetria rispetto all'origine). 3. Funzione a) $y = \frac{x-1}{x+3}$ - Dominio: $x+3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3$ - Simmetria: calcoliamo $f(-x) = \frac{-x-1}{-x+3} = \frac{-(x+1)}{-(x-3)} = \frac{x+1}{x-3}$, che non è uguale né a $f(x)$ né a $-f(x)$, quindi nessuna simmetria. 4. Funzione b) $y = \frac{2x}{x^2-1}$ - Dominio: $x^2-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 1$ - Simmetria: $f(-x) = \frac{2(-x)}{(-x)^2-1} = \frac{-2x}{x^2-1} = -f(x)$, quindi la funzione è dispari. 5. Funzione c) $y = \frac{2}{x^2+2x}$ - Dominio: $x^2+2x \neq 0 \Rightarrow x(x+2) \neq 0 \Rightarrow x \neq 0, x \neq -2$ - Simmetria: $f(-x) = \frac{2}{(-x)^2 + 2(-x)} = \frac{2}{x^2 - 2x}$, che non è uguale né a $f(x)$ né a $-f(x)$, quindi nessuna simmetria. 6. Funzione d) $y = \frac{x-10}{x^2 - 2x - 3}$ - Dominio: $x^2 - 2x - 3 \neq 0$; fattorizziamo: $$x^2 - 2x - 3 = (x-3)(x+1) \neq 0 \Rightarrow x \neq 3, x \neq -1$$ - Simmetria: $f(-x) = \frac{-x - 10}{(-x)^2 - 2(-x) - 3} = \frac{-x - 10}{x^2 + 2x - 3}$, che non è uguale né a $f(x)$ né a $-f(x)$, quindi nessuna simmetria. Risposte finali: - a) Dominio: $\mathbb{R} \setminus \{-3\}$, nessuna simmetria. - b) Dominio: $\mathbb{R} \setminus \{-1,1\}$, funzione dispari. - c) Dominio: $\mathbb{R} \setminus \{0,-2\}$, nessuna simmetria. - d) Dominio: $\mathbb{R} \setminus \{-1,3\}$, nessuna simmetria.