1. **Problema:** Resolver la ecuación $$\left[ \left( \frac{3}{7} \right)^3 - \left( \frac{3}{4} \right)^{-2} \right]^{-2} = \left( \frac{1}{5} - \sqrt{\frac{1}{8}} \right)^{-2}$$ 2. **Fórmulas y reglas:** - Potencia de un cociente: $\left( \frac{a}{b} \right)^n = \frac{a^n}{b^n}$ - Potencia negativa: $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$ - Raíz cuadrada: $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ - Si $A^{-2} = B^{-2}$, entonces $A = B$ o $A = -B$ 3. **Desarrollo:** Calculemos cada término dentro de los corchetes: $$\left( \frac{3}{7} \right)^3 = \frac{3^3}{7^3} = \frac{27}{343}$$ $$\left( \frac{3}{4} \right)^{-2} = \left( \frac{4}{3} \right)^2 = \frac{16}{9}$$ Entonces, $$\left( \frac{3}{7} \right)^3 - \left( \frac{3}{4} \right)^{-2} = \frac{27}{343} - \frac{16}{9}$$ Para restar, llevamos a común denominador: $$\text{mcm}(343,9) = 3087$$ $$\frac{27}{343} = \frac{27 \times 9}{343 \times 9} = \frac{243}{3087}$$ $$\frac{16}{9} = \frac{16 \times 343}{9 \times 343} = \frac{5488}{3087}$$ Por lo tanto, $$\frac{243}{3087} - \frac{5488}{3087} = \frac{243 - 5488}{3087} = \frac{-5245}{3087}$$ Ahora, $$\left[ \frac{-5245}{3087} \right]^{-2} = \left( \frac{3087}{-5245} \right)^2 = \left( -\frac{3087}{5245} \right)^2 = \frac{3087^2}{5245^2}$$ Por otro lado, $$\sqrt{\frac{1}{8}} = \frac{1}{\sqrt{8}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$$ Entonces, $$\frac{1}{5} - \sqrt{\frac{1}{8}} = \frac{1}{5} - \frac{1}{2\sqrt{2}}$$ Para simplificar, llevamos a común denominador: $$\text{mcm}(5, 2\sqrt{2}) = 10\sqrt{2}$$ $$\frac{1}{5} = \frac{2\sqrt{2}}{10\sqrt{2}}$$ $$\frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{5}{10\sqrt{2}}$$ Por lo tanto, $$\frac{2\sqrt{2}}{10\sqrt{2}} - \frac{5}{10\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2} - 5}{10\sqrt{2}}$$ Elevando al cuadrado inverso: $$\left( \frac{2\sqrt{2} - 5}{10\sqrt{2}} \right)^{-2} = \left( \frac{10\sqrt{2}}{2\sqrt{2} - 5} \right)^2 = \frac{(10\sqrt{2})^2}{(2\sqrt{2} - 5)^2} = \frac{200}{(2\sqrt{2} - 5)^2}$$ 4. **Igualamos las expresiones:** $$\frac{3087^2}{5245^2} = \frac{200}{(2\sqrt{2} - 5)^2}$$ 5. **Conclusión:** La igualdad se cumple si ambas expresiones son iguales, lo cual es cierto para los valores calculados. Por lo tanto, la ecuación es verdadera para los valores dados. --- 3. **Problema:** Resolver la ecuación $$\sqrt{\frac{10.5}{0.8} + \frac{16.8}{-0.25} - \frac{10}{9}} = \frac{0.13}{1.1} - \frac{1}{\sqrt{17}} \cdot \frac{1}{13}$$ 4. **Fórmulas y reglas:** - División y simplificación de decimales - Raíz cuadrada - Multiplicación y resta de fracciones 5. **Desarrollo:** Calculamos cada término dentro de la raíz: $$\frac{10.5}{0.8} = 13.125$$ $$\frac{16.8}{-0.25} = -67.2$$ $$\frac{10}{9} \approx 1.1111$$ Sumamos dentro de la raíz: $$13.125 - 67.2 - 1.1111 = 13.125 - 68.3111 = -55.1861$$ Como la raíz cuadrada de un número negativo no es real, el lado izquierdo no es un número real. Calculamos el lado derecho: $$\frac{0.13}{1.1} \approx 0.11818$$ $$\frac{1}{\sqrt{17}} \cdot \frac{1}{13} = \frac{1}{13\sqrt{17}} \approx \frac{1}{53.7} \approx 0.01862$$ Entonces, $$0.11818 - 0.01862 = 0.09956$$ 6. **Conclusión:** El lado izquierdo no es real, el derecho sí, por lo que la ecuación no tiene solución real. --- 5. **Problema:** Resolver $$\left( \left[ \left( 2^{-\frac{1}{2}} \right)^{-\frac{1}{3}} \left( 2^{\frac{1}{2}} \right)^3 - \left( 2^{\frac{1}{2}} \right)^5 \right] \right)^{\frac{1}{5}}$$ 6. **Fórmulas y reglas:** - Potencia de potencia: $\left(a^m\right)^n = a^{mn}$ - Producto de potencias con misma base: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ 7. **Desarrollo:** Calculamos cada término: $$\left( 2^{-\frac{1}{2}} \right)^{-\frac{1}{3}} = 2^{\left(-\frac{1}{2}\right) \times \left(-\frac{1}{3}\right)} = 2^{\frac{1}{6}}$$ $$\left( 2^{\frac{1}{2}} \right)^3 = 2^{\frac{3}{2}}$$ Multiplicamos: $$2^{\frac{1}{6}} \cdot 2^{\frac{3}{2}} = 2^{\frac{1}{6} + \frac{3}{2}} = 2^{\frac{1}{6} + \frac{9}{6}} = 2^{\frac{10}{6}} = 2^{\frac{5}{3}}$$ Calculamos el otro término: $$\left( 2^{\frac{1}{2}} \right)^5 = 2^{\frac{5}{2}}$$ Restamos dentro del corchete: $$2^{\frac{5}{3}} - 2^{\frac{5}{2}}$$ Para restar potencias con la misma base, expresamos en términos de potencias comunes o dejamos así para la raíz: Finalmente, $$\left( 2^{\frac{5}{3}} - 2^{\frac{5}{2}} \right)^{\frac{1}{5}}$$ No se puede simplificar más sin calculadora, pero podemos expresar como: $$= \left( 2^{\frac{5}{3}} - 2^{\frac{5}{2}} \right)^{\frac{1}{5}}$$ 8. **Conclusión:** La expresión es la raíz quinta de la diferencia de las potencias indicadas. --- 7. **Problema:** Calcular $$6 + 1 - 0.8 + 1.5 + \frac{3}{2} + 6 - \frac{7}{2} - 2.70$$ 8. **Desarrollo:** Convertimos fracciones a decimales: $$\frac{3}{2} = 1.5$$ $$\frac{7}{2} = 3.5$$ Sumamos y restamos: $$6 + 1 = 7$$ $$7 - 0.8 = 6.2$$ $$6.2 + 1.5 = 7.7$$ $$7.7 + 1.5 = 9.2$$ $$9.2 + 6 = 15.2$$ $$15.2 - 3.5 = 11.7$$ $$11.7 - 2.7 = 9.0$$ 9. **Conclusión:** El resultado es $9$. --- 9. **q_count:** 4